Кольцо

Кольцо

Определение 1. Кольцом1) $(R,+,\cdot)$ называется множество $R$ с двумя бинарными алгебраическими операциями сложением $+$ и умножением $\cdot$, связанными законами дистрибутивности. При этом $(R,+)$абелева группа, $(R,\cdot)$группоид. Иными словами, операции кольца удовлетворяют следующим аксиомам:

  1. операция сложения ассоциативна: $(a+b)+c=a+(b+c)$ для любых $a,b,c\in R$;
  2. существует нулевой элемент $0\in R$ такой, что $a+0=0+a=a$ для любого $a\in R$;
  3. существует противоположный элемент: для любого $a\in R$ существует $-a\in R$ такой, что $-a+a=a+(-a)=0$;
  4. операция сложения коммутативна: $a+b=b+a$ для любых $a,b\in R$;
  5. выполнены законы дистрибутивности:
    1. $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ для любых $a,b,c\in R$,
    2. $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$ для любых $a,b,c\in R$.

Пример 1. Множество целых чисел $\mathbb{Z}$ с операциями сложения $+$ и умножения $\cdot$ является кольцом.

Коммутативное кольцо

Определение 2. Если кольцо $(R,+,\cdot)$ удовлетворяет дополнительному условию

  • $a\cdot b=b\cdot a$ для любых $a,b\in R$ (коммутативность операции умножения),

то кольцо называется коммутативным2).

Ассоциативное кольцо

Определение 3. Если кольцо $(R,+,\cdot)$ удовлетворяет дополнительному условию

  • $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$ для любых $a,b,c\in R$ (ассоциативность операции умножения),

то кольцо называется ассоциативным3).

Пример 2. Примером кольца является неассоциативное и некоммутативное кольцо Ли.

Ассоциативное кольцо с единицей

Определение 4. Если ассоциативное кольцо $(R,+,\cdot)$ удовлетворяет дополнительному условию

то кольцо называется ассоциативным кольцом с единицей4).

Пример 3. Множество $\textrm{Mat}_n(\mathbb{Z})$ всех матриц порядка $n$ с целочисленными коэффициентами является ассоциативным кольцом с единицей относительно операций сложения и умножения матриц. Единичным элементом является единичная матрица. Это кольцо некоммутативно.

Пример 4. Пусть $S$ — произвольное множество и $R$ — ассоциативное коммутативное кольцо с единицей. Тогда на множестве $\mathrm{Hom}(S,R)$ отображений из $S$ в $R$ возникает структура ассоциативного коммутативного кольца с единицей, если положить

  • $(f\cdot g)(x)=f(x)g(x)$ и
  • $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ для всех $f,g\in\mathrm{Hom}(S,R)$ и $x\in S$.

Мультипликативной единицей служит постоянное отображение $1_S\colon x\mapsto 1$, значение которого есть мультипликативная единица кольца $R$, которое обычно обозначается как $1$. Нулевым элементом служит постоянное отображение $0_S:x\mapsto 0$, значение которого есть нулевой элемент $0$ кольца $R$.

Пример 5. Рассмотрим множество групповых гомоморфизмов $\textrm{End}(G)$ аддитивной абелевой группы $ G $ в себя. Определим операцию сложения в $\textrm{End}(G)$ по правилу: $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ для всех $f,g\in\textrm{End}(G)$ и $x\in G$. В качестве операции умножения возьмем композицию отображений. Тогда $\textrm{End}(G)$ относительно введенных операций является ассоциативным кольцом с единицей. Роль единицы играет тождественное отображение $\textrm{id}_G$.

Пример 6. Пусть $ R $ — произвольное ассоциативное коммутативное кольцо с единицей. Тогда кольцо многочленов $R[T]$ от одной переменной над кольцом $ R $ также является ассоциативным коммутативным кольцом с единицей.

Подкольцо и факторкольцо

Определение 5. Подмножество $ S $ кольца $ R $ называется подкольцом5), если $ S $ замкнуто относительно всех операций кольца:

$x+(-y)\in S$ и $x\cdot y\in S$ для всех $x,y\in S$,

то есть $(S,+)$ является подгруппой в $(R,+)$, а $(S,\cdot)$ является подгруппоидом $(R,\cdot)$. Если кольцо $R$ с единицей6), то $S$ также должно обладать этим свойством.

Определение 6. Пусть $\rho$двусторонний идеал кольца $R$. Факторгруппа $(R,+)/(\rho,+)$ с индуцированным умножением $(a+\rho)\cdot(b+\rho)=a\cdot b+\rho$ является кольцом, которое называется факторкольцом7) $R/\rho$.

Предложение 1. Операция умножения $(a+\rho)\cdot(b+\rho)=a\cdot b+\rho$ в факторгруппе $(R,+)/(\rho,+)$ определена корректно, то есть не зависит от выбора представителя в смежном классе.

Пример 7. Рассмотрим кольцо целых чисел $\mathbb{Z}$. Множество всех целых чисел, кратных фиксированному целому числу $ m $ будем обозначать через $m\mathbb{Z}$, $m\mathbb{Z}=\{m\cdot n|n\in\mathbb{Z}\}$. Это двусторонний идеал в $\mathbb{Z}$. Факторкольцо $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ состоит из $ m $ элементов $\overline{0},\overline{1},\ldots,\overline{m-1}$, где под $\overline{k}$ понимается множество всех целых чисел, имеющих остаток $ k $ при делении на $ m $. Часто $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ обозначают через $\mathbb{Z}_m$ и называют кольцом классов вычетов8) по модулю $ m $.

См. также

Литература

1) ring
2) commutative ring
3) associative ring
4) associative ring with identity
5) subring
6) или обладает другими дополнительными свойствами
7) quotient-ring
8) residue class ring
glossary/ring.txt · Последние изменения: 15.02.2014 16:03:56 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0