Гомоморфизм групп

Определение гомоморфизма

Пусть даны произвольные группы $(G,\cdot_G)$ и $(H,\cdot_H)$ с единицами $e_G$ и $e_H$ соответственно.

Определение 1. Отображение $\varphi:G\rightarrow H$ называется гомоморфизмом групп1), если:

  1. $\varphi(x\cdot_Gy)=\varphi(x)\cdot_H\varphi(y)$ для $\forall x,y\in G$

Пример 1. Пусть $G$ — группа. Отображение $G\rightarrow G\colon x\mapsto x$ называется тождественным и обозначается символом $\textrm{id}_G$. Очевидно, что $\textrm{id}_G$ является автоморфизмом группы $G$.

Пример 2. Рассмотрим группу $G$, записываемую мультипликативно, и $n\in\mathbb{N}$. Отображение $\varphi\colon G\rightarrow G:x\mapsto \underbrace{x\cdot\ldots\cdot x}_n=x^n$, является гомоморфизмом групп и называется возведением в $n$-ю степень.

Определение 2. Гомоморфизм групп $\varphi:G\rightarrow H$ называется мономорфизмом групп2), если отображение $\varphi$ инъективно.

Определение 3. Гомоморфизм групп $\varphi:G\rightarrow H$ называется эпиморфизмом групп3), если отображение $\varphi$ сюръективно.

Пример 3. Пусть $N$нормальная подгруппа группы $G$. Тогда отображение $\pi\colon G\rightarrow G/N$ группы $G$ на факторгруппу $G/N$ такое, что $\pi(x)=xN$, является эпиморфизмом групп и называется канонической проекцией.

Определение 4. Гомоморфизм групп $\varphi:G\rightarrow H$ называется изоморфизмом групп4), если он является мономорфизмом и эпиморфизмом одновременно.

Определение 5. Ядро гомоморфизма5) $\varphi:G\rightarrow H$ — это множество $\textrm{ker}\varphi=\{x\in G\vert\varphi(x)=e_H\}$.

Определение 6. Образ гомоморфизма6) $\varphi:G\rightarrow H$ — это множество $\textrm{im}\varphi=\{y\in H\vert\exists x\in G:\varphi(x)=y\}$.

Гомоморфизм групп является морфизмом в категории групп. В частности, понятия мономорфизма, эпиморфизма и изоморфизма можно переформулировать:

Предложение 1. Гомоморфизм $\varphi:G\rightarrow H$ является мономорфизмом тогда и только тогда, когда $\textrm{ker}\varphi=\{0\}$.

Предложение 2. Гомоморфизм $\varphi:G\rightarrow H$ является эпиморфизмом тогда и только тогда, когда $\textrm{im}\varphi=H$.

Предложение 3. Гомоморфизм $\varphi:G\rightarrow H$ является изоморфизмом тогда и только тогда, когда существует гомоморфизм $\varphi^{-1}:H\rightarrow G$ такой, что $\varphi^{-1}\circ\varphi=\textrm{id}_G$ и $\varphi\circ\varphi^{-1}=\textrm{id}_H$.

Определение 7. Автоморфизмом группы7) $ G $ называется изоморфизм $\varphi:G\rightarrow G$.

Свойства гомоморфизма групп

Предложение 4. Пусть $\varphi:G\rightarrow H$ — гомоморфизм групп. Тогда

  • $\varphi(e_G)=e_H$
  • $\varphi(x^{-1})=\varphi(x)^{-1}$ для всех $x\in G$

Предложение 5. Ядро $\textrm{ker}\varphi$ гомоморфизма групп $\varphi:G\rightarrow H$ является нормальной подгруппой группы $ G $.

Предложение 6. Образ $\textrm{im}\varphi$ гомоморфизма групп $\varphi:G\rightarrow H$ является подгруппой группы $ H $.

Теоремы о гомоморфизмах

Основная теорема о гомоморфизме. Пусть $\varphi\colon G\rightarrow H$ — гомоморфизм групп с ядром $\textrm{ker}~\varphi=N$. Через $\pi\colon G\rightarrow G/N$ обозначим каноническую проекцию8). Тогда существует единственный гомоморфизм групп $\varphi_*\colon G/N\rightarrow H$, инъективный и такой, что $\varphi=\varphi_*\circ\pi$, то есть делающий коммутативной диаграмму

$\begin{diagram}\node{G}\arrow{se,b}{\pi}\arrow[2]{e,t}{\varphi}\node[2]{H}\\\node[2]{G/N}\arrow{ne,b}{\varphi_*}\end{diagram}$.

Если $\varphi$ сюръективно, то $\varphi_*$ — изоморфизм. Гомоморфизм $\varphi_*$ левому смежному классу $gN$ ставит в соответствие $\varphi(g)$.

Первая теорема об изоморфизме. Пусть $H$ и $K$ — подгруппы в $G$, и $H$ нормальна в $G$. Тогда

  1. $KH=KH$ — подгруппа в $G$, содержащая $H$, причем $H$ нормальна в $KH$;
  2. подгруппа $K\cap H$ нормальна в $K$;
  3. отображение $\varphi\colon kH\mapsto k(K\cap H)$ является изоморфизмом групп $(KH)/H\cong K/(K\cap H)$.

Теорема о соответствии. Пусть $\varphi\colon G\rightarrow H$ — эпиморфизм групп с ядром $\textrm{ker}~\varphi=N$. Тогда существует биекция между множеством подгрупп в $G$, содержащих $N$, и множеством всех подгрупп в $H$. При этом нормальным делителям группы $G$ соответствуют нормальные делители группы $H$.

Теорема о сокращении. Пусть $ H $ и $ K $нормальные подгруппы в группе $ G $, причем $K\subset H$. Тогда факторгруппа $H/K$ является нормальной подгруппой в $G/K$ и имеет место изоморфизм: $(G/K)/(H/K)\cong G/H$.

Пример 4. Идеалы $2\mathbb{Z}$ и $4\mathbb{Z}$ нормальны в $\mathbb{Z}$, откуда получаем: $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})/(2\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, или, что то же самое, $\mathbb{Z}_4/\mathbb{Z}_2\cong\mathbb{Z}_2$.

Литература

1) group homomorphism
2) monomorphism
3) epimorphism
4) isomorphism
5) kernel of homomorphism
6) image of homomorphism
7) automorphism
8) см. пример 3
glossary/morphism/group.txt · Последние изменения: 15.02.2014 16:07:10 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0