Содержание
Гомоморфизм групп
Определение гомоморфизма
Пусть даны произвольные группы и
с единицами
и
соответственно.
Определение 1. Отображение называется гомоморфизмом групп1), если:
для
Пример 1. Пусть — группа. Отображение
называется тождественным и обозначается символом
. Очевидно, что
является автоморфизмом группы
.
Пример 2. Рассмотрим группу , записываемую мультипликативно, и
. Отображение
, является гомоморфизмом групп и называется возведением в
-ю степень.
Определение 2. Гомоморфизм групп называется мономорфизмом групп2), если отображение
инъективно.
Определение 3. Гомоморфизм групп называется эпиморфизмом групп3), если отображение
сюръективно.
Пример 3. Пусть — нормальная подгруппа группы
. Тогда отображение
группы
на факторгруппу
такое, что
, является эпиморфизмом групп и называется канонической проекцией.
Определение 4. Гомоморфизм групп называется изоморфизмом групп4), если он является мономорфизмом и эпиморфизмом одновременно.
Определение 5. Ядро гомоморфизма5) — это множество
.
Определение 6. Образ гомоморфизма6) — это множество
.
Гомоморфизм групп является морфизмом в категории групп. В частности, понятия мономорфизма, эпиморфизма и изоморфизма можно переформулировать:
Предложение 1. Гомоморфизм является мономорфизмом тогда и только тогда, когда
.
Предложение 2. Гомоморфизм является эпиморфизмом тогда и только тогда, когда
.
Предложение 3. Гомоморфизм является изоморфизмом тогда и только тогда, когда существует гомоморфизм
такой, что
и
.
Определение 7. Автоморфизмом группы7) называется изоморфизм
.
Свойства гомоморфизма групп
Предложение 4. Пусть — гомоморфизм групп. Тогда
для всех
Предложение 5. Ядро гомоморфизма групп
является нормальной подгруппой группы
.
Предложение 6. Образ гомоморфизма групп
является подгруппой группы
.
Теоремы о гомоморфизмах
Основная теорема о гомоморфизме. Пусть — гомоморфизм групп с ядром
. Через
обозначим каноническую проекцию8). Тогда существует единственный гомоморфизм групп
, инъективный и такой, что
, то есть делающий коммутативной диаграмму
.
Если сюръективно, то
— изоморфизм. Гомоморфизм
левому смежному классу
ставит в соответствие
.
Первая теорема об изоморфизме. Пусть и
— подгруппы в
, и
нормальна в
. Тогда
— подгруппа в
, содержащая
, причем
нормальна в
;
- подгруппа
нормальна в
;
- отображение
является изоморфизмом групп
.
Теорема о соответствии. Пусть — эпиморфизм групп с ядром
. Тогда существует биекция между множеством подгрупп в
, содержащих
, и множеством всех подгрупп в
. При этом нормальным делителям группы
соответствуют нормальные делители группы
.
Теорема о сокращении. Пусть и
— нормальные подгруппы в группе
, причем
. Тогда факторгруппа
является нормальной подгруппой в
и имеет место изоморфизм:
.
Пример 4. Идеалы и
нормальны в
, откуда получаем:
, или, что то же самое,
.