Категория

Определение категории

Определение 1. Категория1) $\mathcal{A}$ включает в себя

  1. совокупность предметов $\textrm{Ob}(\mathcal{A})$, называемых объектами2);
  2. совокупность предметов $\textrm{Ar}(\mathcal{A})$, называемых стрелками3), или морфизмами4);
  3. операции, ставящие в соответствие каждому морфизму $ f $ объект $\textrm{dom}f$ — начало морфизма $ f $; и объект $\textrm{cod}f$ — конец морфизма $ f $. Тот факт, что $A=\textrm{dom}f$ и $B=\textrm{cod}f$ избражается так: $f:A\rightarrow B$ или $A\xrightarrow{f}B$;
  4. операцию, ставящую в соответствие каждой паре $\langle g,f\rangle$ морфизмов с $\textrm{dom}g=\textrm{cod}f$, морфизм $g\circ f:\textrm{dom}f\rightarrow\textrm{cod}g$, композицию5) $ f $ и $ g $. Причем выполняется
    закон ассоциативности:6) Пусть $A\xrightarrow{f}B\xrightarrow{g}C\xrightarrow{h}D$ — конфигурация объектов и морфизмов. Тогда $h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f$;
  5. сопоставление каждому объекту $B\in\textrm{Ob}(\mathcal{A})$ морфизма $1_B:B\rightarrow B$, называемого единичным, или тождественным морфизмом7), так что выполнен
    закон тождества:8) Для любых морфизмов $f:A\rightarrow B$ и $g:B\rightarrow C$ имеем $1_B\circ f=f$ и $g\circ 1_B=g$.

Множество морфизмов из $ A $ в $ B $ обозначается $\textrm{Hom}_{\mathcal{A}}(A,B)$ или $\textrm{Hom}(A,B)$.

Пример 1. Категория множеств $\mathfrak{Set}$. Объектами этой категории являются множества, а морфизмами — отображения множеств. Легко проверить, что аксиомы категории выполнены.

Пример 2. Категория групп $\mathfrak{Grp}$. Объектами являются группы, а морфизмами — гомоморфизмы групп.

Пример 3. Категория топологических пространств $\mathfrak{Top}$. Объектами являются топологические пространства, а морфизмами — непрерывные отображения топологических пространств.

Определение 2. Подкатегория $\mathcal{B}$ категории $\mathcal{A}$ — это совокупность некоторых объектов и морфизмов из $\mathcal{A}$ такая, что

  1. вместе с каждым морфизмом $ f $ в $\mathcal{B}$ содержатся $\textrm{dom}f$ и объект $\textrm{cod}f$;
  2. вместе с каждым объектом $ B $ содержится единичный морфизм $1_B$;
  3. вместе с каждой парой перемножаемых морфизмов $ f $ и $ g $ — их композиция $g\circ f$.

Определение 3. Подкатегория $\mathcal{B}$ категории $\mathcal{A}$ называется полной9), если для произвольных $A,B\in\textrm{Ob}\mathcal{B}$ выполнено: $\textrm{Hom}_{\mathcal{B}}(A,B)=\textrm{Hom}_{\mathcal{A}}(A,B)$.

Морфизмы в категории

Определение 4. Морфизм $f\in\textrm{Hom}(A,B)$ называется мономорфизмом10), или мономорфной стрелкой11), если для любых двух морфизмов $g,h\in\textrm{Hom}(C,A)$ из равенства $f\circ g=f\circ h$ следует $g=h$.

Определение 5. Морфизм $f\in\textrm{Hom}(A,B)$ называется эпиморфизмом12), или эпиморфной стрелкой13), если для любых двух морфизмов $g,h\in\textrm{Hom}(B,C)$ из равенства $g\circ f=h\circ f$ следует $g=h$.

Определение 6. Морфизм $ f $ называется биморфизмом14), если он одновременно является мономорфизмом и эпиморфизмом.

Определение 7. Морфизм $f\in\textrm{Hom}(A,B)$ называется изоморфизмом15), если существует морфизм $g:B\rightarrow A$ такой, что $g\circ f$ и $f\circ g$ являются тождественными морфизмами в $\textrm{Hom}(A,A)$ и $\textrm{Hom}(B,B)$ соответственно.

Заметим, что всякий изоморфизм является биморфизмом. Обратное, вообще говоря, не имеет места. Действительно, в категории моноидов гомоморфизм $\mathbb{Z}_{+}\rightarrow\mathbb{Z}$ является биморфизмом, но не является изоморфизмом.

Определение 8. Морфизмы объекта $ A $ в себя называются эндоморфизмами16). Множество эндоморфизмов объекта $ A $ обозначается символом $\textrm{End}(A)$. Из аксиом категории вытекает, что $\textrm{End}(A)$моноид.

Определение 9. Изоморфизмы объекта $ A $ в себя называются автоморфизмами17). Множество автоморфизмов объекта $ A $ обозначается символом $\textrm{Aut}(A)$. Это множество в действительности является группой.

См. также

Литература

1) category
2) object
3) arrow
4) morphism
5) composition
6) associative law
7) identity arrow
8) law of identity
9) full
10) monomorphism
11) monomorphic arrow
12) epimorphism
13) epimorphic arrow
14) bimorphism
15) isomorphism
16) endomorphism
17) automorphism
glossary/category.txt · Последние изменения: 08.01.2011 07:33:44 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0