Категория
Определение категории
Определение 1. Категория1) включает в себя
- совокупность предметов
, называемых объектами2);
- операции, ставящие в соответствие каждому морфизму
объект
— начало морфизма
; и объект
— конец морфизма
. Тот факт, что
и
избражается так:
или
;
Множество морфизмов из в
обозначается
или
.
Пример 1. Категория множеств . Объектами этой категории являются множества, а морфизмами — отображения множеств. Легко проверить, что аксиомы категории выполнены.
Пример 2. Категория групп . Объектами являются группы, а морфизмами — гомоморфизмы групп.
Пример 3. Категория топологических пространств . Объектами являются топологические пространства, а морфизмами — непрерывные отображения топологических пространств.
Определение 2. Подкатегория категории
— это совокупность некоторых объектов и морфизмов из
такая, что
- вместе с каждым морфизмом
в
содержатся
и объект
;
- вместе с каждым объектом
содержится единичный морфизм
;
- вместе с каждой парой перемножаемых морфизмов
и
— их композиция
.
Определение 3. Подкатегория категории
называется полной9), если для произвольных
выполнено:
.
Морфизмы в категории
Определение 4. Морфизм называется мономорфизмом10), или мономорфной стрелкой11), если для любых двух морфизмов
из равенства
следует
.
Определение 5. Морфизм называется эпиморфизмом12), или эпиморфной стрелкой13), если для любых двух морфизмов
из равенства
следует
.
Определение 6. Морфизм называется биморфизмом14), если он одновременно является мономорфизмом и эпиморфизмом.
Определение 7. Морфизм называется изоморфизмом15), если существует морфизм
такой, что
и
являются тождественными морфизмами в
и
соответственно.
Заметим, что всякий изоморфизм является биморфизмом. Обратное, вообще говоря, не имеет места. Действительно, в категории моноидов гомоморфизм является биморфизмом, но не является изоморфизмом.
Определение 8. Морфизмы объекта в себя называются эндоморфизмами16). Множество эндоморфизмов объекта
обозначается символом
. Из аксиом категории вытекает, что
— моноид.
Определение 9. Изоморфизмы объекта в себя называются автоморфизмами17). Множество автоморфизмов объекта
обозначается символом
. Это множество в действительности является группой.
См. также
Литература
- Гельфанд С.И., Манин Ю.И. «Методы гомологической алгебры», т.1, Наука, 1988.
- Голдблатт Р. «Топосы. Категорный анализ логики», Мир, 1983.