Содержание

Отображение

Отображение

проверено

Определение

Пусть $A$ и $B$ — фиксированные множества.

Определение 1. Бинарное отношение $f \subseteq A \times B$ называют отображением¹⁾, или функцией²⁾ из множества $A$ в множество $B$ и обозначают $f:A \rightarrow B$ , если

для любых $x,y,z$ из условий $(x,y) \in f$ и $(x,z) \in f$ следует, что $y=z$ .

При этом вместо $(x,y)\in f$ обычно пишут $f(x)=y$ . Множество

$\textrm{dom}~f=\{x\in A\vert\exists y\in B:(x,y)\in f\}$

называется областью определения отображения³⁾, а множество $\textrm{cod}~f=B$ — областью значений⁴⁾.

Замечание 1. Как правило, подразумевается, что область значений $\textrm{dom}~f=A$ . Но для этого к определению функции необходимо добавлять еще одно условие

для каждого $x\in A$ найдется такой $y\in B$ , что $(x,y)\in f$ .

Образ и прообраз

Определение 2. Множество

$\textrm{im}~f$ $= \{b\in B\vert(\exists a\in A:f(a)=b)\}=f(A)\subset B$ .

называется образом при отображении $f$ .

Определение 3. Прообразом элемента $b$ называется множество

$f^{-1}(b)=\{a\in A\vert(f(a)=b)\}\subset A$ .

Если $B_0\subset B$ , то

$f^{-1}(B_0) = \{ a \in A \vert (f(a)\in B_0) \}\subset A$ .

Виды отображений

Определение 4. Будем говорить, что отображение $f$ — инъективно⁵⁾, если из $x\neq y$ следует, что $f(x)\neq f(y)$ . Другими словами, отображение $f$ инъективно тогда и только тогда, когда прообраз каждого элемента $y\in B$ состоит не более, чем из одного элемента.

Предложение 1. Отображение $f\colon A\rightarrow B$ инъективно тогда и только тогда, когда оно имеет левое обратное⁶⁾, то есть существует $g\colon B\rightarrow A$ такое, что

$g\circ f=\textrm{id}_A$ .

Определение 5. Будем говорить, что $f$ сюръективно⁷⁾, если для каждого $b\in B$ существует элемент $a\in A$ такой, что $f(a)=b$ . Другими словами, $f$ сюръективно тогда и только тогда, когда каждый элемент $b\in B$ имеет непустой прообраз.

Предложение 2. Отображение $f\colon A\rightarrow B$ сюръективно тогда и только тогда, когда оно имеет правое обратное⁸⁾, то есть существует $g\colon B\rightarrow A$ такое, что

$f\circ g=\textrm{id}_B$ .

Определение 6. Будем говорить, что $f$ — биективно⁹⁾, или взаимно однозначно¹⁰⁾, если оно одновременно инъективно и сюръективно.

Предложение 3. Отображение $f$ биективно тогда и только тогда, когда оно имеет обратное¹¹⁾.

Определение 7. Отображение $\textrm{id}_X\colon X\rightarrow X$ на множестве $X$ , для которого

$\textrm{id}_X(x)=x$ для любого $x\in X$

называют тождественным отображением¹²⁾.

Примеры

Если $B\subset\mathbb{R}$ , то функция называется вещественнозначной¹³⁾.
Числовая последовательность $\{a_n\}$ является отображением из $\mathbb{N}$ в $\mathbb{R}$ .
$\sin x$ является отображением из $\mathbb{R}$ в $[-1,1]$ .
Пусть $A,~B\subseteq\mathbb{R}$ , а $f:A\rightarrow B$ таково, что $f(x)=x^2$ , тогда если $A=\mathbb{R}_+$ , а $B=\mathbb{R}$ , то отображение $f$ инъективно.
Если в предыдущем примере положить $A=\mathbb{R}$ , то отображение $f$ не будет инъективным.
Пусть $A,~B\subseteq\mathbb{R}$ , а $f:A\rightarrow B$ таково, что $f(x)=x^2$ , тогда если $A=\mathbb{R}$ , а $B=\mathbb{R}_+$ , то отображение $f$ сюръективно.
Если в предыдущем примере положить $B=\mathbb{R}$ , то отображение $f$ не будет сюръективным.
Пусть $A,~B\subseteq\mathbb{R}$ , а $f:A\rightarrow B$ таково, что $f(x)=x^2$ , тогда если $A=B=\mathbb{R}_+$ , то отображение $f$ биективно.
Если в предыдущем примере положить $A=\mathbb{R}$ , то отображение $f$ не будет биективным.