Отображение

проверено

Определение

Пусть $A$ и $B$ — фиксированные множества.

Определение 1. Бинарное отношение $f \subseteq A \times B$ называют отображением1), или функцией2) из множества $A$ в множество $B$ и обозначают $f:A \rightarrow B$, если

  • для любых $x,y,z$ из условий $(x,y) \in f$ и $(x,z) \in f$ следует, что $y=z$.

При этом вместо $(x,y)\in f$ обычно пишут $f(x)=y$. Множество

$\textrm{dom}~f=\{x\in A\vert\exists y\in B:(x,y)\in f\}$

называется областью определения отображения3), а множество $\textrm{cod}~f=B$областью значений4).

Замечание 1. Как правило, подразумевается, что область значений $\textrm{dom}~f=A$. Но для этого к определению функции необходимо добавлять еще одно условие

  • для каждого $x\in A$ найдется такой $y\in B$, что $(x,y)\in f$.

Образ и прообраз

Определение 2. Множество

$\textrm{im}~f$ $= \{b\in B\vert(\exists a\in A:f(a)=b)\}=f(A)\subset B$.

называется образом при отображении $f$.

Определение 3. Прообразом элемента $b$ называется множество

$f^{-1}(b)=\{a\in A\vert(f(a)=b)\}\subset A$.

Если $B_0\subset B$, то

$f^{-1}(B_0) = \{ a \in A \vert (f(a)\in B_0) \}\subset A$.

Виды отображений

Определение 4. Будем говорить, что отображение $f$инъективно5), если из $x\neq y$ следует, что $f(x)\neq f(y)$. Другими словами, отображение $f$ инъективно тогда и только тогда, когда прообраз каждого элемента $y\in B$ состоит не более, чем из одного элемента.

Предложение 1. Отображение $f\colon A\rightarrow B$ инъективно тогда и только тогда, когда оно имеет левое обратное6), то есть существует $g\colon B\rightarrow A$ такое, что

$g\circ f=\textrm{id}_A$.

Определение 5. Будем говорить, что $f$ сюръективно7), если для каждого $b\in B$ существует элемент $a\in A$ такой, что $f(a)=b$. Другими словами, $f$ сюръективно тогда и только тогда, когда каждый элемент $b\in B$ имеет непустой прообраз.

Предложение 2. Отображение $f\colon A\rightarrow B$ сюръективно тогда и только тогда, когда оно имеет правое обратное8), то есть существует $g\colon B\rightarrow A$ такое, что

$f\circ g=\textrm{id}_B$.

Определение 6. Будем говорить, что $ f $биективно9), или взаимно однозначно10), если оно одновременно инъективно и сюръективно.

Предложение 3. Отображение $f$ биективно тогда и только тогда, когда оно имеет обратное11).

Определение 7. Отображение $\textrm{id}_X\colon X\rightarrow X$ на множестве $X$, для которого

$\textrm{id}_X(x)=x$ для любого $x\in X$

называют тождественным отображением12).

Примеры

  • Если $B\subset\mathbb{R}$, то функция называется вещественнозначной13).
  • Числовая последовательность $\{a_n\}$ является отображением из $\mathbb{N}$ в $\mathbb{R}$.
  • $\sin x$ является отображением из $\mathbb{R}$ в $[-1,1]$.
  • Пусть $A,~B\subseteq\mathbb{R}$, а $f:A\rightarrow B$ таково, что $f(x)=x^2$, тогда если $A=\mathbb{R}_+$, а $B=\mathbb{R}$, то отображение $ f $ инъективно.
  • Если в предыдущем примере положить $A=\mathbb{R}$, то отображение $ f $ не будет инъективным.
  • Пусть $A,~B\subseteq\mathbb{R}$, а $f:A\rightarrow B$ таково, что $f(x)=x^2$, тогда если $A=\mathbb{R}$, а $B=\mathbb{R}_+$, то отображение $ f $ сюръективно.
  • Если в предыдущем примере положить $B=\mathbb{R}$, то отображение $ f $ не будет сюръективным.
  • Пусть $A,~B\subseteq\mathbb{R}$, а $f:A\rightarrow B$ таково, что $f(x)=x^2$, тогда если $A=B=\mathbb{R}_+$, то отображение $ f $ биективно.
  • Если в предыдущем примере положить $A=\mathbb{R}$, то отображение $ f $ не будет биективным.

См. также

Литература

1) mapping
2) function
3) domain
4) codomain
5) injective mapping
6) относительно операции — композиции отображений
7) surjection
8) , 11) относительно операции — композиции отображений
9) bijective mapping
10) biunique, one-for-one, one-one, one-to-one
12) identity mapping
13) real valued function
glossary/mapping.txt · Последние изменения: 15.02.2014 16:02:32 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0