Содержание
Множество
«Наивное» определение
Определение 1. Под множеством1) понимают совокупность объектов (предметов или понятий), которая рассматривается как одно целое. Элементом множества2) называется объект, входящий в состав множества.
Для фиксированного множества обозначение
указывает на то, что
является элементом множества
. В противном случае пишут
.
Замечание 1. Данное понимание множества называют «наивным». Оно приводит к некоторым парадоксам теории множеств.
Существует два способа задания множеств:
- перечисление всех элементов множества, например,
;
- описание свойств элементов множества, например,
.
Замечание 2. Некоторые важные множества обозначают специальными буквами.
Определение 2. Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым множеством3) и обозначают символом .
Определение 3. Множество является подмножеством4) множества
, если из условия
следует
. В этом случае множество
называют надмножеством5) множества
. При этом используют обозначения
или
, если нужно подчеркнуть возможность равенства6) множеств. Если
, то подмножество
называют собственным7) подмножеством в
и пишут
.
Пример 1. Множество целых чисел — это подмножество множества комплексных чисел, .
Пример 2. Пустое множество является подмножеством любого множества.
Определение 4. Множества и
называются равными8):
, если
и
.
См. также
Литература
- Верещагин Н.К., Шень А. «Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Начала теории множеств», МЦНМО, 2008.
- Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Основы алгебры», МЦНМО, 2012.
- Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.
Определение 4