Содержание

Поле комплексных чисел

Поле комплексных чисел

Определение и свойства

Определение 1. Алгебраическое расширение поля действительных чисел $\mathbb{R}$ с помощью элемента $i$ , являющегося корнем многочлена $T^2+1$ , называется полем комплексных чисел¹⁾. Поле комплексных чисел обозначается через $\mathbb{C}$ .

Предложение 1. Каждое ассоциативное коммутативное кольцо $R$ с единицей и без делителей нуля, являющееся двумерным векторным пространством над полем $\mathbb{R}$ , изоморфно полю $\mathbb{C}$ .

Теорема 1.(Основная теорема алгебры.) Поле комплексных чисел $\mathbb{C}$ алгебраически замкнуто.

Ниже приведено несколько реализаций поля комплексных чисел.

Плоскость комплексных чисел

Определение 2. Полем комплексных чисел $\mathbb{C}$ называется множество всех упорядоченных пар действительных чисел $(x,y)$ . При этом каждая такая пара $z=(x,y)$ называется комплексным числом²⁾. Таким образом, множество комплексных чисел можно интерпретировать как точки на плоскости $\mathbb{R}^2$ . Определим операцию сложения комплексных чисел по правилу

$(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)$ для всех $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in\mathbb{C}$ ,

и определим операцию умножения:

$(x_1,y_1)\cdot(x_2,y_2)=(x_1x_2-y_1y_2,x_1y_2+x_2y_1)$ для всех $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in\mathbb{C}$ .

Предложение 1. Множество $(\mathbb{C},+,\cdot)$ является полем.

Нулевым элементом в поле $\mathbb{C}$ является пара $(0,0)$ , а единичным — пара $(1,0)$ . Противоположный элемент для $(x,y)$ — это $(-x,-y)$ , а обратным для ненулевого $(x,y)$ является $(\frac{x}{x^2+y^2},-\frac{y}{x^2+y^2})$ .

Алгебраическая запись

Определение 3. Пусть $i$ — корень уравнения $T^2+1=0$ . Полем комплексных чисел $\mathbb{C}$ называется множество объектов вида $x+yi$ , где $x,y\in\mathbb{R}$ , со следующими операциями сложения и умножения:

$(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i$ для всех $x_1+y_1i,x_2+y_2i\in\mathbb{C}$ ;
$(x_1+y_1i)\cdot(x_2+y_2i)=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i$ для всех $x_1+y_1i,x_2+y_2i\in\mathbb{C}$ .

Число $i$ называется мнимой единицей³⁾.

Это определение легко получается из предыдущего, если элементы $(x,0)$ обозначать через $x$ , а элемент $(0,1)$ — через $i$ . Тогда произвольное комплексное число $(x,y)=(x,0)+(0,y)=(x,0)+(y,0)(0,1)$ запишется в виде $x+yi$ . Так как $(0,1)\cdot(0,1)=(0\cdot 0-1\cdot 1,0\cdot 1+1\cdot 0)=(-1,0)$ , то мнимая единица $i$ является корнем уравнения $T^2+1=0$ .

Геометрическая интерпретация

Определение 4. Модулем⁴⁾ комплексного числа $z=x+yi$ называется неотрицательное вещественное число $\rho=|z|=\sqrt{x^2+y^2}$ , равное расстоянию от начала координат до точки $(x,y)$ в комплексной плоскости.

Определение 5. Аргументом⁵⁾ комплексного числа $z=x+yi$ называется угол $\textrm{arg}~z=\varphi$ между положительным направлением оси абсцисс и направлением из начала координат на точку $(x,y)$ . Для числа $0=0+0i$ аргумент не определен.

Замечание 1. Аргумент комплексного числа определен неоднозначно: если при равных модулях аргументы отличаются на значение, кратное $2\pi$ , то они определяют одно и то же комплексное число.

Определение 6. Обозначив $\begin{cases}x=\rho\cos\varphi\\y=\rho\sin\varphi\end{cases}$ , получим запись комплексного числа $z=x+yi$ в виде $z=\rho(\cos\varphi+i\sin\varphi)$ . Такая запись называется тригонометрической формой комплексного числа.

Предложение 2. Модуль произведения комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ равен произведению модулей, а аргумент — сумме аргументов этих чисел:

$|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot|z_2|$ ,
$\textrm{arg}~(z_1\cdot z_2)=\textrm{arg}~z_1+\textrm{arg}~z_2$ .

Аналогично,

$|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$ ,
$\textrm{arg}~\frac{z_1}{z_2}=\textrm{arg}~z_1-\textrm{arg}~z_2$ .

Предложение 3. (Формула Муавра.) Для всех целых $n$ справедлива формула

$[\rho(\cos\varphi+i\sin\varphi)]^n=\rho^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)$ .

Предложение 4. Для любого комплексного числа $z=\rho(\cos\varphi+i\sin\varphi)$ существует корень $n$ -й степени, то есть такое число $z'$ , что $(z')^n=z$ . Все $n$ значений корня $n$ -й степени из $z$ описываются формулой