Поле комплексных чисел

Определение и свойства

Определение 1. Алгебраическое расширение поля действительных чисел $\mathbb{R}$ с помощью элемента $ i $, являющегося корнем многочлена $T^2+1$, называется полем комплексных чисел1). Поле комплексных чисел обозначается через $\mathbb{C}$.

Предложение 1. Каждое ассоциативное коммутативное кольцо $ R $ с единицей и без делителей нуля, являющееся двумерным векторным пространством над полем $\mathbb{R}$, изоморфно полю $\mathbb{C}$.

Теорема 1.(Основная теорема алгебры.) Поле комплексных чисел $\mathbb{C}$ алгебраически замкнуто.

Ниже приведено несколько реализаций поля комплексных чисел.

Плоскость комплексных чисел

Определение 2. Полем комплексных чисел $\mathbb{C}$ называется множество всех упорядоченных пар действительных чисел $(x,y)$. При этом каждая такая пара $z=(x,y)$ называется комплексным числом2). Таким образом, множество комплексных чисел можно интерпретировать как точки на плоскости $\mathbb{R}^2$.  Комплексная плоскость Определим операцию сложения комплексных чисел по правилу

$(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)$ для всех $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in\mathbb{C}$,

и определим операцию умножения:

$(x_1,y_1)\cdot(x_2,y_2)=(x_1x_2-y_1y_2,x_1y_2+x_2y_1)$ для всех $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in\mathbb{C}$.

Предложение 1. Множество $(\mathbb{C},+,\cdot)$ является полем.

Нулевым элементом в поле $\mathbb{C}$ является пара $(0,0)$, а единичным — пара $(1,0)$. Противоположный элемент для $(x,y)$ — это $(-x,-y)$, а обратным для ненулевого $(x,y)$ является $(\frac{x}{x^2+y^2},-\frac{y}{x^2+y^2})$.

Алгебраическая запись

Определение 3. Пусть $ i $ — корень уравнения $T^2+1=0$. Полем комплексных чисел $\mathbb{C}$ называется множество объектов вида $x+yi$, где $x,y\in\mathbb{R}$, со следующими операциями сложения и умножения:

  1. $(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i$ для всех $x_1+y_1i,x_2+y_2i\in\mathbb{C}$;
  2. $(x_1+y_1i)\cdot(x_2+y_2i)=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i$ для всех $x_1+y_1i,x_2+y_2i\in\mathbb{C}$.

Число $ i $ называется мнимой единицей3).

Это определение легко получается из предыдущего, если элементы $(x,0)$ обозначать через $ x $, а элемент $(0,1)$ — через $ i $. Тогда произвольное комплексное число $(x,y)=(x,0)+(0,y)=(x,0)+(y,0)(0,1)$ запишется в виде $x+yi$. Так как $(0,1)\cdot(0,1)=(0\cdot 0-1\cdot 1,0\cdot 1+1\cdot 0)=(-1,0)$, то мнимая единица $ i $ является корнем уравнения $T^2+1=0$.

Геометрическая интерпретация

Определение 4. Модулем4) комплексного числа $z=x+yi$ называется неотрицательное вещественное число $\rho=|z|=\sqrt{x^2+y^2}$, равное расстоянию от начала координат до точки $(x,y)$ в комплексной плоскости.

Определение 5. Аргументом5) комплексного числа $z=x+yi$ называется угол $\textrm{arg}~z=\varphi$ между положительным направлением оси абсцисс и направлением из начала координат на точку $(x,y)$. Для числа $0=0+0i$ аргумент не определен.

Замечание 1. Аргумент комплексного числа определен неоднозначно: если при равных модулях аргументы отличаются на значение, кратное $2\pi$, то они определяют одно и то же комплексное число.

Определение 6. Обозначив $\begin{cases}x=\rho\cos\varphi\\y=\rho\sin\varphi\end{cases}$, получим запись комплексного числа $z=x+yi$ в виде $z=\rho(\cos\varphi+i\sin\varphi)$. Такая запись называется тригонометрической формой комплексного числа.

Предложение 2. Модуль произведения комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ равен произведению модулей, а аргумент — сумме аргументов этих чисел:

  1. $|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot|z_2|$,
  2. $\textrm{arg}~(z_1\cdot z_2)=\textrm{arg}~z_1+\textrm{arg}~z_2$.

Аналогично,

  1. $|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$,
  2. $\textrm{arg}~\frac{z_1}{z_2}=\textrm{arg}~z_1-\textrm{arg}~z_2$.

Предложение 3. (Формула Муавра.) Для всех целых $ n $ справедлива формула

$[\rho(\cos\varphi+i\sin\varphi)]^n=\rho^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)$.

Предложение 4. Для любого комплексного числа $z=\rho(\cos\varphi+i\sin\varphi)$ существует корень $ n $-й степени, то есть такое число $z'$, что $(z')^n=z$. Все $ n $ значений корня $ n $-й степени из $ z $ описываются формулой

$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{\rho}(\cos\frac{\varphi+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\varphi+2\pi k}{n}),k=0,1,\ldots,n-1$.

Следствие 1. Корни $ n $-й степени из $ 1 $ выражаются формулой

$\sqrt[n]{1}=\cos\frac{2\pi k}{n}+i\sin\frac{2\pi k}{n},k=0,1,\ldots,n-1$.

Они расположены в вершинах правильного $ n $-угольника, вписанного в окружность с центром в нуле и радиуса $ 1 $.

Литература

1) Complex number
2) complex number
3) imaginary unit
4) modulus
5) argument
glossary/set/complex.txt · Последние изменения: 15.02.2014 15:58:04 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0