Нейтральный элемент

Единица

Пусть задан группоид $(X,\ast)$.

Определение 1. Элемент $e\in X$ называется нейтральным слева, или левой единицей1), если выполнено условие $e\ast x=x$ для любого $x\in X$.

Определение 2. Элемент $e\in X$ называется нейтральным справа, или правой единицей2), если выполнено условие $x\ast e=x$ для любого $x\in X$.

Определение 3. Элемент $e\in X$ называется нейтральным, или единицей3), если он нейтральный слева и нейтральный справа, то есть $e\ast x=x\ast e=x$ для любого $x\in X$.

Замечание 1. Обычно термин единица употребляют, если операция $\ast$ мультипликативна, при этом часто вместо обозначения $e$ используют символ $1$.

Пример 1. Единичный элемент $E$ в группе невырожденных матриц $\mathcal{M}_n(F)$ порядка $n$ над полем $F$ иногда обозначается символом $I$.

Предложение 1. Если в группоиде $X$ существуют левая единица и правая единица, то они совпадают.

Доказательство.

Доказательство.

Доказательство.

Пусть $e'$ — левая единица и $e''$ — правая единица. Тогда из определения левой единицы следует, что $e'e''=e''$, а из определения правой — $e'e''=e'$. Откуда $e'=e''$.

Нулевой элемент

Определение 5. Если операция $\ast$ аддитивна, то нейтральный элемент обычно обозначают символом $0$ и называют нулевым4).

Пример 2. Нулевой элемент 0 абелевой группы $\mathbb{Z}$.

См. также

Литература

1) left-handed identity element
2) right-handed identity element
3) identity element
4) null element
glossary/element/groupoid/identity.txt · Последние изменения: 15.02.2014 15:46:35 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0