Группа
Определение группы
Определение 1. Пара , сосотящая из множества
и бинарной алгебраической операции
, называется группой1), если:
Или, более кратко,
Определение 1'. Группа — это моноид, в котором каждый элемент обладает обратным.
Пример 1. Множество автоморфизмов объекта
некоторой категории
с умножением — композицией морфизмов является группой.
Пример 2. В моноиде , состоящем из всех отображений множества
в себя2), рассмотрим подмножество
всех взаимно однозначных отображений. Тогда
является группой, которая называется группой перестановок множества3)
.
Пример 3. Симметрическая группа порядка
при
является примером некоммутативной группы4).
Абелева группа
Определение 2. Группа, в которой основная операция коммутативна, то есть
для любых
,
называется коммутативной5) или абелевой группой6).
Обычно операцию в абелевой группе записывают аддитивно.
Пример 4. Множество целых чисел с операцией сложения
является абелевой группой.
Пример 5. Множество отличных от нуля действительных чисел с операцией умножения
является абелевой группой.
Пример 6. Циклическая группа конечного или бесконечного порядка является абелевой группой.
Подгруппа
Определение 3. Подмножество группы
называется подгруппой7), если оно:
- содержит единицу группы
:
;
- замкнуто относительно взятия обратного элемента:
для любого
.
Пример 7. Подмножество является подгруппой в
для любого
.
Пример 8. Знакопеременная группа является подгруппой симметрической группы
порядка
.
Предложение 1. Чтобы подмножество являлось подгруппой группы
необходимо и достаточно, чтобы
:
.
Предложение 2. Пусть и
— подгруппы группы
. Тогда пересечение
является подгруппой
.
Определение 4. Подгруппа называется нормальной8) и записывается
, если она инвариантна относительно действия внутренних автоморфизмов, то есть
для всех
и всех
.
Предложение 3. В абелевой группе любая подгруппа нормальна.
Пример 9. Знакопеременная группа нормальна в
. Это следует из того, что четности подстановок
и
равны9) для произвольных
.
Определение 5. Подгруппа называется собственной10), если:
;
.
Определение 6. Если подгруппа , то
называется тривиальной подгруппой11).