Содержание

Группа

Группа

Определение группы

Определение 1. Пара $(G,\cdot)$ , сосотящая из множества $G$ и бинарной алгебраической операции $\cdot$ , называется группой¹⁾, если:

основная операция ассоциативна, $(x\cdot y)\cdot z=x\cdot(y\cdot z)$ для любых $x,y,z\in G$ ;
существует единичный элемент $e\in G$ такой, что $e\cdot x=x\cdot e=x$ для любого $x\in G$ ;
для каждого элемента $x\in G$ существует обратный $x^{-1}\in G$ такой, что $x^{-1}\cdot x=x\cdot x^{-1}=e$ .

Или, более кратко,

Определение 1'. Группа — это моноид, в котором каждый элемент обладает обратным.

Пример 1. Множество $\textrm{Aut}(A)$ автоморфизмов объекта $A$ некоторой категории $\mathcal{A}$ с умножением — композицией морфизмов является группой.

Пример 2. В моноиде $\textrm{Hom}(X,X)$ , состоящем из всех отображений множества $X$ в себя²⁾, рассмотрим подмножество $S(X)$ всех взаимно однозначных отображений. Тогда $S(X)$ является группой, которая называется группой перестановок множества³⁾ $X$ .

Пример 3. Симметрическая группа $S_n$ порядка $n$ при $n>2$ является примером некоммутативной группы⁴⁾.

Абелева группа

Определение 2. Группа, в которой основная операция коммутативна, то есть

$x\cdot y=y\cdot x$ для любых $x,y\in G$ ,

называется коммутативной⁵⁾ или абелевой группой⁶⁾.

Обычно операцию в абелевой группе записывают аддитивно.

Пример 4. Множество целых чисел $\mathbb{Z}$ с операцией сложения $+$ является абелевой группой.

Пример 5. Множество отличных от нуля действительных чисел $\mathbb{R}\backslash\{0\}$ с операцией умножения $\cdot$ является абелевой группой.

Пример 6. Циклическая группа конечного или бесконечного порядка является абелевой группой.

Подгруппа

Определение 3. Подмножество $H$ группы $G$ называется подгруппой⁷⁾, если оно:

содержит единицу группы $G$ : $e\in H$ ;
замкнуто относительно операции в $G$ : $x\cdot y\in H$ для любых $x,y\in H$ ;
замкнуто относительно взятия обратного элемента: $x^{-1}\in H$ для любого $x\in H$ .

Пример 7. Подмножество $n\mathbb{Z}=\{nm\vert m\in\mathbb{Z}\}$ является подгруппой в $\mathbb{Z}$ для любого $n\in\mathbb{N}$ .

Пример 8. Знакопеременная группа $A_n$ является подгруппой симметрической группы $S_n$ порядка $n$ .

Предложение 1. Чтобы подмножество $H\subseteq G$ являлось подгруппой группы $G$ необходимо и достаточно, чтобы $\forall x\in H$ $\forall y\in H$ : $x\cdot y^{-1}\in H$ .

Доказательство.

Пусть $H\subseteq G$ — подгруппа, тогда если $y\in H$ , то $y^{-1}\in H$ и $x\cdot y^{-1}\in H$ .

Обратно, пусть $x\cdot y^{-1}\in H$ для всех $x,y\in H$ . Тогда

$e=x\cdot x^{-1}\in H$ для некоторого $x\in H$ ;
$x^{-1}=e\cdot x^{-1}\in H$ для любого $x\in H$ ;
$x\cdot y=x\cdot(y^{-1})^{-1}\in H$ для любых $x,y\in H$ .

Предложение 2. Пусть $H$ и $K$ — подгруппы группы $G$ . Тогда пересечение $H\cap K$ является подгруппой $G$ .

Доказательство.

Пусть $x,y\in H\cap K$ , то есть $x,y\in H$ и $x,y\in K$ . Согласно предложению 1, $x\cdot y^{-1}\in H$ и $x\cdot y^{-1}\in K$ , то есть $x\cdot y^{-1}\in H\cap K$ , а значит, $H\cap K$ — подгруппа в $G$ .

Определение 4. Подгруппа $H\subseteq G$ называется нормальной⁸⁾ и записывается $H\triangleleft G$ , если она инвариантна относительно действия внутренних автоморфизмов, то есть

$x\cdot h\cdot x^{-1}\in H$ для всех $h\in H$ и всех $x\in G$ .

Предложение 3. В абелевой группе любая подгруппа нормальна.

Доказательство.

Пусть $G$ — абелева группа с операцией $+$ и $H$ — ее подгруппа. Для любых $x\in G$ и $h\in H$ в силу свойства коммутативности получаем, что

$x+h+(-x)=x+(-x)+h=0+h=h\in H$ .

Пример 9. Знакопеременная группа $A_n$ нормальна в $S_n$ . Это следует из того, что четности подстановок $\pi$ и $\tau\pi\tau^{-1}$ равны⁹⁾ для произвольных $\pi,\tau\in S_n$ .