Циклическая группа

проверено

Оределение

Определение 1. Группа $(G,\cdot)$ называется циклической1), если существует такой элемент $a\in G$, что любой элемент $g\in G$ записывается в виде $g=a^n$ для некоторого $n\in\mathbb{Z}$. При этом элемент $ a $ называется образующей2) циклической группы.

Замечание 1. В случае, если циклическая группа записана аддитивно, то каждый ее элемент представляется в виде $na$ для некоторого $n\in\mathbb{Z}$.

Пример 1. Множество целых чисел $\mathbb{Z}$ является циклической группой бесконечного порядка с образующим, равным 1.

Предложение 1. Любая циклическая группа абелева.

Предложение 2. Любая подгруппа циклической группы является циклической группой.

Пример 2. Группа классов вычетов по модулю $ n $ является циклической группой порядка $ n $ с образующим $\overline{1}$.

Предложение 2. Все циклические группы исчерпываются двумя предыдущими примерами с точностью до изоморфизма.

Литература

1)
cyclic group
2)
generator
glossary/group/cyclic.txt · Последние изменения: 15.02.2014 16:07:44 — Ладилова Анна
Наверх
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 4.0 International
Driven by DokuWiki Recent changes RSS feed Valid CSS Valid XHTML 1.0