Циклическая группа

проверено

Определение 1. Группа называется циклической¹⁾, если существует такой элемент , что любой элемент записывается в виде для некоторого . При этом элемент называется образующей²⁾ циклической группы.

Замечание 1. В случае, если циклическая группа записана аддитивно, то каждый ее элемент представляется в виде для некоторого .

Пример 1. Множество целых чисел является циклической группой бесконечного порядка с образующим, равным 1.

Предложение 1. Любая циклическая группа абелева.

Предложение 2. Любая подгруппа циклической группы является циклической группой.

Пример 2. Группа классов вычетов по модулю является циклической группой порядка с образующим .

Предложение 2. Все циклические группы исчерпываются двумя предыдущими примерами с точностью до изоморфизма.

• Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Основы алгебры», МЦНМО, 2012.
• Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.