Алгебра множеств

проверено. мало собственно, про алгебру множеств. еще неплохо бы обозвать операции.

Пусть и — произвольные множества.

Определение 1. Под универсумом¹⁾ понимают множество, включающее в себя все множества в данном контексте.

Определение 2. Пересечением²⁾ множеств и называется множество всех таких элементов , которые лежат как в множестве , так и в множестве , то есть .

Определение 3. Объединением³⁾ множеств и называется множество всех таких элементов , которые лежат в множестве или в множестве , то есть .

Определение 4. Разностью⁴⁾ множеств и называется множество всех таких элементов , которые лежат в множестве , но не лежат в , то есть .

Определение 5. Симметрической разностью⁵⁾ множеств и называется множество всех таких элементов , которые принадлежат ровно одному из множеств и , то есть .

Определение 6. Дополнением⁶⁾ множества называется множество всех таких элементов из универсума, которые не лежат в множестве , то есть .

Определение 7. Два множества и называются непересекающимися, если их пересечение пусто, т.е. .

Предложение 1. Справедливы следующие свойства

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;
7. .

Определение 7. Алгеброй множеств⁷⁾ называется пара , где — некоторая совокупность множеств, а — набор операций над множествами. Обычно полагают, что — множество всех подмножеств универсума , а в качестве берут рассмотренные выше операции .

• Верещагин Н.К., Шень А. «Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Начала теории множеств», МЦНМО, 2008.
• Ван дер Варден Б.Л. «Алгебра», Наука, 1976.