Множество

Определение 1. Под множеством¹⁾ понимают совокупность объектов (предметов или понятий), которая рассматривается как одно целое. Элементом множества²⁾ называется объект, входящий в состав множества.

Для фиксированного множества обозначение указывает на то, что является элементом множества . В противном случае пишут .

Замечание 1. Данное понимание множества называют «наивным». Оно приводит к некоторым парадоксам теории множеств.

Существует два способа задания множеств:

1. перечисление всех элементов множества, например, ;
2. описание свойств элементов множества, например, .

Замечание 2. Некоторые важные множества обозначают специальными буквами.

• — множество натуральных чисел;
• — множество целых чисел;
• — множество рациональных чисел;
• — множество действительных чисел;
• — множество комплексных чисел.

Определение 2. Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым множеством³⁾ и обозначают символом .

Определение 3. Множество является подмножеством⁴⁾ множества , если из условия следует . В этом случае множество называют надмножеством⁵⁾ множества . При этом используют обозначения или , если нужно подчеркнуть возможность равенства⁶⁾ множеств. Если , то подмножество называют собственным⁷⁾ подмножеством в и пишут .

Пример 1. Множество целых чисел — это подмножество множества комплексных чисел, .

Пример 2. Пустое множество является подмножеством любого множества.

Определение 4. Множества и называются равными⁸⁾: , если и .

• Алгебра множеств

• Верещагин Н.К., Шень А. «Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Начала теории множеств», МЦНМО, 2008.
• Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Основы алгебры», МЦНМО, 2012.
• Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.