Теория чисел

Теория чисел — это наука о целых числах. В основу этого раздела легло изучение свойств натуральных чисел, которое было начато еще математиками древности. В настоящее время в теорию чисел включают значительно более широкий круг вопросов, выходящих за рамки изучения натурах чисел. В теории чисел рассматриваются не только натуральные числа, но и множество всех целых чисел, множество рациональных чисел, множество алгебраических чисел.

Для современной теории чисел характерно применение весьма разнообразных методов исследований. Например, многие проблемы теории чисел могут быть сформулированы в геометрической форме, и к решению такого рода задач применяют геометрические соображения. В современной теории чисел широко пользуются методами математического анализа. В частности, при изучении вопросов, связанных с распределением простых чисел, особенно часто приходится применять теорию функций комплексного переменного.

Теория чисел не только широко использует методы, разработанные в смежных математических дисциплинах, но и сама влияет на формирование этих дисциплин. Так, например, начало глубоких исследований в теории алгебраических чисел было связано с так называемой проблемой Ферма о возможности существования целых положительных решений диофантова уравнения $x^n+y^n=z^n$ при $n>2$. Дальнейшее развитие этой теории оказало решающее влияние на современную алгебру, а возникшие в теории чисел понятия «кольца» и «идеала» являются одними из основных понятий математики нашего времени.

Современную теорию чисел можно разбить на следующие разделы:

  1. Элементарная теория чисел. К этому разделу относят вопросы теории чисел, являющиеся непосредственным развитием теории делимости и вопросы о представимости чисел в определенной форме. Более общей является задача решения систем диофантовых уравнений, то есть уравнений, в которых значения неизвестных должны быть обязательно целыми числами.
  2. Алгебраическая теория чисел. К этому разделу относят вопросы, связанные с изучением различных классов алгебраических чисел.
  3. Диофантовы приближения. К этому разделу относят вопросы, связанные с изучением приближения действительных чисел рациональными дробями. К диофантовым приближениям примыкают тесно связанные с этим же кругом идей вопросы изучения арифметической природы различных классов чисел.
  4. Аналитическая теория чисел. К этому разделу относят вопросы теории чисел, для изучения которых приходится применять методы математического анализа.

Иногда как особую часть теории чисел выделяют геометрическую теорию чисел или из общего круга вопросов теории диофантовых приближений выделяют теорию трансцендентных чисел.1)

Исторические сведения

2) Ранний период развития арифметики характеризуется тем, что постепенно и притом весьма медленно развивается сам процесс счета, выявляются возможности неограниченного его продолжения, создается практическая арифметика, в которой решаются отдельные конкретные арифметические задачи.

В трудах Евклида теоретико-числовые исследования занимают сравнительно небольшое место, однако уже у него мы встречаем ряд основных положений теории делимости и хотя простой, но чрезвычайно важный результат: бесконечность множества простых чисел.

Греческим математикам был известен способ выделения простых чисел из натурального ряда, получивший название эратосфенова решета. Теорию чисел как особую область математики можно рассматривать только начиная с работ Диофанта. Диофант рассмотрел ряд задач о представимости чисел в определенной форме и более общие задачи решения уравнений в целых и рациональных числах. Именно эти задачи явились позднее отправным пунктом всей теории форм и той базой, откуда возникла проблематика теории диофантовых приближений.

В период упадка античной культуры работы Диофанта были почти совсем забыты. В VIII—IX веках в арабских странах возникает своеобразная математическая культура. Арабская математика, культивируя исследования по алгебре и тригонометрии, проявляла незначительный интерес к теоретико-числовым задачам. Некоторые арабские ученые комментировали Диофанта, рассматривали арифметические задачи того же типа, что и Диофант, однако ничего существенно нового ими не было получено.

В Европе, начиная с эпохи крестовых походов вплоть до XVII века, развитие теории чисел, как, впрочем, и всей математики, было очень медленым. Математики обычно рассматривали только отдельные конкретные задачи теоретико-числового характера. Общие методы были почти неизвестны. В этот период в основном развилась практическая арифметика действий. Из работ этого времени наибольший след в дальнейшем развитии теории чисел оставили весьма незначительные для этой эпохи работы Леонардо Пизанского и работы Региомонтана, который нашел труды Диофанта и впервые в Европе стал систематически их изучать.

В XVI и в начале XVII века на латинском и французском языках были изданы сочинения Диофанта, и ряд математиков того времени, из которых в первую очередь можно назвать Виета, занялись комментированием этих сочинений, несколько дополняя их новыми результатами.

В настоящем смысле теорию чисел как науку надо считать начиная с работ французского математика П. Ферма, получившего основной результат теории делимости на заданное простое число и решившего ряд важных задач теории диофантовых уравнений.

В XVIII веке Л. Эйлер значительно продвинул вперед развитие теории чисел. Эйлер обобщил основной результат Ферма для случая делимости на составные числа, создал общую теорию так называемых степенных вычетов, получил очень большое число разнообразных результатов о представимости чисел в виде форм определенного типа, исследовал ряд систем диофантовых уравнений и получил интересные результаты о разбиении чисел на слагаемые. У Эйлера мы впервые встречамся с идеей применения методов математического анализа к задачам теории чисел. Рассмотрение бесконечных рядов и произведений явилось у Эйлера действенным орудием для получения теоретико-числовых результатов.

После работ Эйлера почти все крупные математики XVIII и XIX веков в той или иной степени занимаются теорией чисел. В частности, существенный след в развитии теории чисел оставил французский математик Лагранж, развивший дальше методы Эйлера. Лагранж рассматривал вопрос о представлении чисел в виде бинарной квадратичной формы $ax^2+bxy+cy^2$, доказал теорему о представимости чисел в виде суммы четырех квадратов и провел существенные исследования по теории непрерывных дробей.

Большое влияние на дальнейшее развитие теории чисел оказали и работы А.Лежандра по теории диофантовых уравнений высших степеней. Лежандр нашел также эмпирическую формулу для числа простых чисел в заданных пределах. Работы Эйлера, Лагранжа и Лежандра создали базу для цельной теории, получившей позже у Гаусса название теории сравнений.

Замечательные работы немецкого математика К.Гаусса имели особенно большое значение для всей теории чисел. Работы Гаусса по теории сравнений 2-й степени придали ей законченный вид, так что в настоящее время вся эта область теории чисел базируется на результатах, изложенных им в книге «Арифметические исследования». В этой книге рассматривается также теория квадратичных форм, в которой им были получены фундаментальные результаты. Гаусс наряду с изучением обычных целых чисел начал рассматривать также и арифметику чисел, получивших название целых гауссовых чисел. Эти его исследования положили начало алгебраической теории чисел.

После работ Гаусса в течение всего XIX века и до сегодняшнего дня исследования по теории приобретают все увеличивающийся размах.

Список основных статей по теории чисел

Теория чисел. Литература

1) , 2) А.А. Бухштаб, Теория чисел
theory/number.txt · Последние изменения: 15.02.2014 16:04:51 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0