Отображение
проверено
Определение
Пусть и
— фиксированные множества.
Определение 1. Бинарное отношение называют отображением1), или функцией2) из множества
в множество
и обозначают
, если
- для любых
из условий
и
следует, что
.
При этом вместо обычно пишут
. Множество
называется областью определения отображения3), а множество — областью значений4).
Замечание 1. Как правило, подразумевается, что область значений . Но для этого к определению функции необходимо добавлять еще одно условие
- для каждого
найдется такой
, что
.
Образ и прообраз
Определение 2. Элемент называется образом элемента
.
Определение 3. Множество
.
называется образом при отображении .
Определение 4. Прообразом элемента называется множество
.
Если , то
.
Виды отображений
Определение 5. Отображение на множестве
, для которого
для любого
называют тождественным отображением5).
Определение 6. Будем говорить, что отображение — инъективно6), если из
следует, что
. Другими словами, отображение
инъективно тогда и только тогда, когда прообраз каждого элемента
состоит не более, чем из одного элемента.
Предложение 1. Отображение инъективно тогда и только тогда, когда оно имеет левое обратное7), то есть существует
такое, что
.
Определение 7. Будем говорить, что сюръективно8), если для каждого
существует элемент
такой, что
. Другими словами,
сюръективно тогда и только тогда, когда каждый элемент
имеет непустой прообраз.
Предложение 2. Отображение сюръективно тогда и только тогда, когда оно имеет правое обратное9), то есть существует
такое, что
.
Определение 8. Будем говорить, что — биективно10), или взаимно однозначно11), если оно одновременно инъективно и сюръективно.
Предложение 3. Отображение биективно тогда и только тогда, когда оно имеет обратное12).
Примеры
- Если
, то функция называется вещественнозначной13).
- Числовая последовательность
является отображением из
в
.
является отображением из
в
.
- Пусть
, а
таково, что
, тогда если
, а
, то отображение
инъективно.
- Если в предыдущем примере положить
, то отображение
не будет инъективным.
- Пусть
, а
таково, что
, тогда если
, а
, то отображение
сюръективно.
- Если в предыдущем примере положить
, то отображение
не будет сюръективным.
- Пусть
, а
таково, что
, тогда если
, то отображение
биективно.
- Если в предыдущем примере положить
, то отображение
не будет биективным.
См. также
Литература
- Гордон Е.И., Полотовский Г.М. «Мощность бесконечных множеств», Издательство ННГУ, 1998.
- Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Основы алгебры», МЦНМО, 2012.
- Кудрявцев Л.Д. «Курс математического анализа», т.1, Высшая школа, 1981.
- Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.