Бинарное отношение

Определение

Определение 1. Бинарным отношением1) между множествами $ A $ и $ B $ называется любое подмножество $\rho$ прямого произведения $A \times B$. Часто чтобы обозначить принадлежность упорядоченной пары $(x,y)$ к бинарному отношению $\rho$ вместо записи $(x,y)\in\rho$ используют обозначения $\rho(x,y)$ или $x\rho y$. При этом говорят, что $ x $ находится в отношении $\rho$ к $ y $.

Если $A=B$, то говорят, что $\rho$ задано на множестве $ A $.

Пример 1. Пусть $A=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}$ и $B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$. Тогда подмножество $\{(a,2),(c,3),(d,5)\}$ в $A\times B$ является бинарным отношением между множествами $ A $ и $ B $

Пример 2. На множестве целых чисел $\mathbb{Z}$ отношение делимости, состоящее из упорядоченных пар $(m,n)$, в которых $ m $ делится на $ n $, является бинарным отношением. В этом случае обозначение $m\rho n$ заменяется на $m\vdots n$.

Пример 3. На множестве действительных чисел $\mathbb{R}$ упорядочение $\leqslant$ является бинарным отношением на $\mathbb{R}$, состоящим из всех точек плоскости $\mathbb{R}^2$, лежащих не ниже прямой $x-y=0$.

≤

Пример 4. Для функции $f:X\rightarrow Y$ ее график $\Gamma(f)=\{(x,y)\vert y=f(x),x\in X\}$ является бинарным отношением между $ X $ и $ Y $.

Свойства бинарного отношения на множестве

Определение 2. Говорят, что бинарное отношение $\rho$ на множестве $ A $ обладает свойством рефлексивности2), если $(x,x)\in\rho$ для всех $x\in A$.

Определение 3. Говорят, что бинарное отношение $\rho$ на множестве $ A $ обладает свойством антирефлексивности3), если $(x,x)\not\in\rho$ для всех $x\in A$.

Определение 4. Говорят, что бинарное отношение $\rho$ на множестве $ A $ обладает свойством симметричности4), если $(x,y)\in\rho$ влечет за собой $(y,x)\in\rho$ для всех $x,y\in A$.

Определение 5. Говорят, что бинарное отношение $\rho$ на множестве $ A $ обладает свойством антисимметричности5), если $(x,y)\in\rho$, $x\neq y$, влечет за собой $(y,x)\not\in\rho$ для всех $x,y\in A$.

Определение 6. Говорят, что бинарное отношение $\rho$ на множестве $ A $ обладает свойством транзитивности6), если $(x,y)\in\rho$ и $(y,z)\in\rho$ влечет за собой $(x,z)\in\rho$ для всех $x,y,z\in A$.

Определение 7. Говорят, что бинарное отношение $\rho$ на множестве $ A $ обладает свойством связанности7), если $(x,y)\in\rho$ или $(y,x)\in\rho$ для всех $x,y\in A$.

Пример 5. Отношение делимости целых чисел из примера 2 является

  • рефлексивным: любое целое число $ m $ делится на себя, то есть $m\vdots m$;
  • транзитивным: если $ m $ делится на $ n $, а $ n $ делится на $ k $, то $ m $ делится на $ k $.

Пример 6. Отношение порядка $\leqslant$ из примера 3 обладает свойствами

  • рефлексивности;
  • транзитивности;
  • антисимметричности;
  • связанности.

Виды бинарных отношений

Отдельно выделяются бинарные отношения, обладающие «хорошим» набором свойств:

Литература

1) binary relation
2) reflexive property
3) irreflexive property
4) symmetric property
5) antisymmetric property
6) transitive property
7) total property
glossary/relation/binary.txt · Последние изменения: 15.02.2014 16:00:59 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0