Содержание
Отношение эквивалентности
Определения
Определение 1. Пусть — некоторое бинарное отношение на множестве . Будем говорить, что — отношение эквивалентности1), если оно одновременно удовлетворяет свойствам
- рефлексивности: для всех ;
- симметричности: для всех ;
- транзитивности: для всех .
В этом случае вместо употребляется запись 2), где .
Пример 1. Отношение равенства на множестве действительных чисел является отношением эквивалентности.
Пример 2. Отношение на множестве является отношением эквивалентности.
Определение 2. Подмножество называется классом эквивалентности3), содержащим . Любой элемент называется представителем класса4) .
Разбиение множества
Определение 3. Набор подмножеств называется разбиением5) множества , если
- для любых различных ;
- .
Предложение 1. Множество классов эквивалентности по отношению является разбиением множества .
Данное предложение означает, что любые два класса эквивалентности либо совпадают, либо не пересекаются и любой элемент множества принадлежит какому-либо классу эквивалентности.
Предложение 2. Любое разбиение множества определяет некоторое отношение эквиваленитности .
Определение 4. Множество всех классов эквивалентности множества по отношению называется фактормножеством6) и обозначается .
Каноническая проекция
Определение 5. Отображение , которое каждому элементу ставит в соответствие его класс эквивалентности, называется канонической проекцией7), или естественным отображением8) на фактормножество .
Заметим, что каноническая проекция всегда является сюръективным отображением.