Содержание

Бинарное отношение

Бинарное отношение

Определение

Определение 1. Бинарным отношением¹⁾ между множествами $A$ и $B$ называется любое подмножество $\rho$ прямого произведения $A \times B$ . Часто чтобы обозначить принадлежность упорядоченной пары $(x,y)$ к бинарному отношению $\rho$ вместо записи $(x,y)\in\rho$ используют обозначения $\rho(x,y)$ или $x\rho y$ . При этом говорят, что $x$ находится в отношении $\rho$ к $y$ .

Если $A=B$ , то говорят, что $\rho$ задано на множестве $A$ .

Пример 1. Пусть $A=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}$ и $B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ . Тогда подмножество $\{(a,2),(c,3),(d,5)\}$ в $A\times B$ является бинарным отношением между множествами $A$ и $B$

Пример 2. На множестве целых чисел $\mathbb{Z}$ отношение делимости, состоящее из упорядоченных пар $(m,n)$ , в которых $m$ делится на $n$ , является бинарным отношением. В этом случае обозначение $m\rho n$ заменяется на $m\vdots n$ .

Пример 3. На множестве действительных чисел $\mathbb{R}$ упорядочение $\leqslant$ является бинарным отношением на $\mathbb{R}$ , состоящим из всех точек плоскости $\mathbb{R}^2$ , лежащих не ниже прямой $x-y=0$ .

Пример 4. Для функции $f:X\rightarrow Y$ ее график $\Gamma(f)=\{(x,y)\vert y=f(x),x\in X\}$ является бинарным отношением между $X$ и $Y$ .

Свойства бинарного отношения на множестве

Определение 2. Говорят, что бинарное отношение $\rho$ на множестве $A$ обладает свойством рефлексивности²⁾, если $(x,x)\in\rho$ для всех $x\in A$ .

Определение 3. Говорят, что бинарное отношение $\rho$ на множестве $A$ обладает свойством антирефлексивности³⁾, если $(x,x)\not\in\rho$ для всех $x\in A$ .

Определение 4. Говорят, что бинарное отношение $\rho$ на множестве $A$ обладает свойством симметричности⁴⁾, если $(x,y)\in\rho$ влечет за собой $(y,x)\in\rho$ для всех $x,y\in A$ .

Определение 5. Говорят, что бинарное отношение $\rho$ на множестве $A$ обладает свойством антисимметричности⁵⁾, если $(x,y)\in\rho$ , $x\neq y$ , влечет за собой $(y,x)\not\in\rho$ для всех $x,y\in A$ .

Определение 6. Говорят, что бинарное отношение $\rho$ на множестве $A$ обладает свойством транзитивности⁶⁾, если $(x,y)\in\rho$ и $(y,z)\in\rho$ влечет за собой $(x,z)\in\rho$ для всех $x,y,z\in A$ .

Определение 7. Говорят, что бинарное отношение $\rho$ на множестве $A$ обладает свойством связанности⁷⁾, если $(x,y)\in\rho$ или $(y,x)\in\rho$ для всех $x,y\in A$ .

Пример 5. Отношение делимости целых чисел из примера 2 является

рефлексивным: любое целое число $m$ делится на себя, то есть $m\vdots m$ ;
транзитивным: если $m$ делится на $n$ , а $n$ делится на $k$ , то $m$ делится на $k$ .

Пример 6. Отношение порядка $\leqslant$ из примера 3 обладает свойствами

рефлексивности;
транзитивности;
антисимметричности;
связанности.

Виды бинарных отношений

Отдельно выделяются бинарные отношения, обладающие «хорошим» набором свойств:

Литература

теория множеств, антирефлексивность, антисимметричность, бинарное отношение, множество, отображение, прямое произведение, рефлексивность, связанность, симметричность, транзитивность

¹⁾

binary relation

²⁾

reflexive property

³⁾

irreflexive property

⁴⁾

symmetric property

⁵⁾

antisymmetric property

⁶⁾

transitive property

⁷⁾

total property

glossary/relation/binary.txt · Последние изменения: 15.02.2014 12:00:59 — Ладилова Анна

Наверх