Действие группы на множестве

проверено

Описание

Определение 1. Пусть $X$ — множество, $G$ — группа. Под действием¹⁾ $G$ на $X$ (слева) будем понимать отображение $G\times X\rightarrow X\colon(g,x)\mapsto gx$ такое, что выполнены условия:

$(g_1g_2)x=g_1(g_2x)$ для всех $g_1,g_2\in G$ и $x\in X$ ;
$ex=x$ для всех $x\in X$ .

Множество $X$ при этом называют $G$ -множеством.

Каждый элемент $g\in G$ определяет отображение $T_g\colon X\rightarrow X$ по правилу $T_g(x)=gx$ . Из определения следует, что $T_{g_1}\circ T_{g_2}=T_{g_1g_2}$ , поэтому отображение $g\mapsto T_g$ определяет гомоморфизм $T\colon G\rightarrow S(X)$ в группу перестановок множества $X$ .

Предложение 1. Действие $G$ задает на множестве $X$ отношение эквивалентности по правилу

$x_1\sim x_2$ , если существует элемент $g\in G$ такой, что $x_2=gx_1$ .

Доказательство.

Свойство рефлексивности выполнено, так как $x=ex$ для любого $x\in X$ ;
если $x_1=gx_2$ , то $x_2=g^{-1}x_1$ для любых $x_1,x_2\in X$ , $g\in G$ , откуда следует симметричность;
если $x_1=g_1x_2$ и $x_2=g_2x_3$ , то $x_1=g_1(g_2x_3)=(g_1g_2)x_3$ для любых $x_1,x_2,x_3\in X$ , $g_1,g_2\in G$ , поэтому имеет место транзитивность.

Определение 2. Классы эквивалентности отношения эквивалентности из предложения 1 называются орбитами²⁾. Таким образом, орбита, содержащая точку $x$ есть подмножество $Gx=\{gx\vert g\in G\}\subseteq X$ .

Определение 3. Если все элементы множества $X$ эквивалентны³⁾, то действие называется транзитивным⁴⁾.

Определение 4. Подгруппа $G_x=\textrm{st}~x=\{g\in G\vert gx=x\}$ называется стабилизатором⁵⁾ точки $x$ . При этом отображение $G\rightarrow Gx\colon g\mapsto gx$ индуцирует биекцию $G/G_x\rightarrow Gx$ .