Содержание
Бинарная алгебраическая операция
проверено
Бинарная операция
Определение 1. Бинарная операция1) на непустом множестве — это отображение из прямого произведения в .
Для обозначения бинарной алгебраической операции часто вместо записи используют запись . Обычно также для обозначения бинарных алгебраических опреаций используют специальные символы , , и так далее.
На множестве может быть определено сразу несколько бинарных алгебраических операций. Чтобы подчеркнуть, какая именно операция имеется ввиду, используют скобки, например, .
Пример 1. Операции сложения и умножения в основных алгебраических структурах: группах, кольцах, полях — являются бинарными алгебраическими операциями.
Пример 2. Пусть — множество всех подмножеств множества . Операции пересечения и объединения — это бинарные алгебраические операции на множестве .
Пример 3. Операция, ставящая в соответствие двум натуральным числам и их наибольший общий делитель НОД, является бинарной алгебраической операцией на множестве натуральных чисел.
Виды бинарных операций
Определение 2. Бинарная алгебраическая операция на множестве называется коммутативной2), если для всех .
Определение 3. Бинарная алгебраическая операция на множестве называется ассоциативной3), если для всех .
Пример 4. Операция сложения на множестве целых чисел является коммутативной и ассоциативной.
Пример 5. Операция композиции отображений на множестве ассоциативна, но не коммутативна.
Пример 6. Операция умножения в кольце Ли не является ни коммутативной, ни ассоциативной.
Группоид
Определение 4. Множество с заданной на нем бинарной алгебраической операцией, называется группоидом4).
Если операция в группоиде обозначается символом , то ее называют сложением5) и говорят, что группоид записан аддитивно6). Если операция в группоиде обозначается символом , то ее называют умножением7) и говорят, что группоид записан мультипликативно8).
См. также
Литература
- Куликов Л.Я. «Алгебра и теория чисел», Высшая школа, 1979.
- Курош А.Г. «Общая алгебра», Наука, 1974.