Содержание

Кольцо Ли

Кольцо Ли

Описание

Определение 1. Кольцом Ли¹⁾ $(R,+,\cdot)$ будем называть кольцо, в котором операция умножения антикоммутативна и удовлетворяет тождеству Якоби. Иными словами, операции сложения $+$ и умножения $\cdot$ кольца Ли удовлетворяют следующим аксиомам:

ассоциативность сложения: $(a+b)+c=a+(b+c)$ для всех $a,b,c\in R$ ;
существует нулевой элемент $0\in R$ такой, что $a+0=0+a=a$ для всех $a\in R$ ;
для всех $a\in R$ существует противоположный элемент элемент $-a\in R$ такой, что $-a+a=a+(-a)=0$ ;
коммутативность сложения: $a+b=b+a$ для всех $a,b\in R$ ;
дистрибутивность:
1. $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ для всех $a,b,c\in R$ ;
2. $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$ для всех $a,b,c\in R$ ;
$a\cdot a=0$ для всех $a\in R$ ;
тождество Якоби: $a\cdot(b\cdot c)+b\cdot(c\cdot a)+c\cdot(a\cdot b)=0$ для всех $a,b,c\in R$ .

Замечание 1. Из условия $a\cdot a=0$ следует условие антикоммутативности:

$a\cdot b=-b\cdot a$ для всех $a,b\in R$ .

Более того, если в абелевой группе кольца нет элементов порядка 2, то условие $a\cdot a=0$ эквивалентно условию $a\cdot b=-b\cdot a$ .

Пример 1. Пусть $(R,+,\cdot)$ — произвольное ассоциативное кольцо. Зададим на $R$ новую операцию умножения $[a,b]=a\cdot b-b\cdot a$ , тогда $(R,+,[])$ — кольцо Ли.

Пример 2. Алгебра Ли $L$ над кольцом $R$ является кольцом Ли с дополнительной структурой левого $R$ -модуля.

Предложение 1. Для каждого кольца Ли <latex>R</latex> существует такое ассоциативное кольцо <latex>A</latex>, что <latex>R</latex> изоморфно подкольцу <latex>A</latex> с операцией умножения <latex>[,]</latex>, определенной формулой <latex>[a,b]=a\cdot b-b\cdot a</latex>.

См. также

Алгебра Ли

Литература

Фейс К. «Алгебра: кольца, модули и категории. Т.1», Мир, 1977.
Холл М. «Теория групп», Иностранная литература, 1962.

абстрактная алгебра, антикоммутативность, кольцо, кольцо Ли, тождество Якоби

¹⁾

Lie ring

glossary/ring/lie.txt · Последние изменения: 06.03.2013 21:30:49 — Ладилова Анна

Наверх