Содержание
Кольцо
Кольцо
Определение 1. Кольцом1) называется множество с двумя бинарными алгебраическими операциями сложением и умножением , связанными законами дистрибутивности. При этом — абелева группа, — группоид. Иными словами, операции кольца удовлетворяют следующим аксиомам:
- операция сложения ассоциативна: для любых ;
- существует нулевой элемент такой, что для любого ;
- существует противоположный элемент: для любого существует такой, что ;
- операция сложения коммутативна: для любых ;
- выполнены законы дистрибутивности:
- для любых ,
- для любых .
Пример 1. Множество целых чисел с операциями сложения и умножения является кольцом.
Коммутативное кольцо
Определение 2. Если кольцо удовлетворяет дополнительному условию
- для любых (коммутативность операции умножения),
то кольцо называется коммутативным2).
Ассоциативное кольцо
Определение 3. Если кольцо удовлетворяет дополнительному условию
- для любых (ассоциативность операции умножения),
то кольцо называется ассоциативным3).
Пример 2. Примером кольца является неассоциативное и некоммутативное кольцо Ли.
Ассоциативное кольцо с единицей
Определение 4. Если ассоциативное кольцо удовлетворяет дополнительному условию
- существует единичный элемент такой, что для любого ,
то кольцо называется ассоциативным кольцом с единицей4).
Пример 3. Множество всех матриц порядка с целочисленными коэффициентами является ассоциативным кольцом с единицей относительно операций сложения и умножения матриц. Единичным элементом является единичная матрица. Это кольцо некоммутативно.
Пример 4. Пусть — произвольное множество и — ассоциативное коммутативное кольцо с единицей. Тогда на множестве отображений из в возникает структура ассоциативного коммутативного кольца с единицей, если положить
- и
- для всех и .
Мультипликативной единицей служит постоянное отображение , значение которого есть мультипликативная единица кольца , которое обычно обозначается как . Нулевым элементом служит постоянное отображение , значение которого есть нулевой элемент кольца .
Пример 5. Рассмотрим множество групповых гомоморфизмов аддитивной абелевой группы в себя. Определим операцию сложения в по правилу: для всех и . В качестве операции умножения возьмем композицию отображений. Тогда относительно введенных операций является ассоциативным кольцом с единицей. Роль единицы играет тождественное отображение .
Пример 6. Пусть — произвольное ассоциативное коммутативное кольцо с единицей. Тогда кольцо многочленов от одной переменной над кольцом также является ассоциативным коммутативным кольцом с единицей.
Подкольцо и факторкольцо
Определение 5. Подмножество кольца называется подкольцом5), если замкнуто относительно всех операций кольца:
и для всех ,
то есть является подгруппой в , а является подгруппоидом . Если кольцо с единицей6), то также должно обладать этим свойством.
Определение 6. Пусть — двусторонний идеал кольца . Факторгруппа с индуцированным умножением является кольцом, которое называется факторкольцом7) .
Предложение 1. Операция умножения в факторгруппе определена корректно, то есть не зависит от выбора представителя в смежном классе.
Пример 7. Рассмотрим кольцо целых чисел . Множество всех целых чисел, кратных фиксированному целому числу будем обозначать через , . Это двусторонний идеал в . Факторкольцо состоит из элементов , где под понимается множество всех целых чисел, имеющих остаток при делении на . Часто обозначают через и называют кольцом классов вычетов8) по модулю .