Содержание

Кольцо

Кольцо

Определение 1. Кольцом¹⁾ $(R,+,\cdot)$ называется множество $R$ с двумя бинарными алгебраическими операциями сложением $+$ и умножением $\cdot$ , связанными законами дистрибутивности. При этом $(R,+)$ — абелева группа, $(R,\cdot)$ — группоид. Иными словами, операции кольца удовлетворяют следующим аксиомам:

операция сложения ассоциативна: $(a+b)+c=a+(b+c)$ для любых $a,b,c\in R$ ;
существует нулевой элемент $0\in R$ такой, что $a+0=0+a=a$ для любого $a\in R$ ;
существует противоположный элемент: для любого $a\in R$ существует $-a\in R$ такой, что $-a+a=a+(-a)=0$ ;
операция сложения коммутативна: $a+b=b+a$ для любых $a,b\in R$ ;
выполнены законы дистрибутивности:
1. $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ для любых $a,b,c\in R$ ,
2. $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$ для любых $a,b,c\in R$ .

Пример 1. Множество целых чисел $\mathbb{Z}$ с операциями сложения $+$ и умножения $\cdot$ является кольцом.

Коммутативное кольцо

Определение 2. Если кольцо $(R,+,\cdot)$ удовлетворяет дополнительному условию

$a\cdot b=b\cdot a$ для любых $a,b\in R$ (коммутативность операции умножения),

то кольцо называется коммутативным²⁾.

Ассоциативное кольцо

Определение 3. Если кольцо $(R,+,\cdot)$ удовлетворяет дополнительному условию

$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$ для любых $a,b,c\in R$ (ассоциативность операции умножения),

то кольцо называется ассоциативным³⁾.

Пример 2. Примером кольца является неассоциативное и некоммутативное кольцо Ли.

Ассоциативное кольцо с единицей

Определение 4. Если ассоциативное кольцо $(R,+,\cdot)$ удовлетворяет дополнительному условию

существует единичный элемент $1\in R$ такой, что $a\cdot 1=1\cdot a=a$ для любого $a\in R$ ,

то кольцо называется ассоциативным кольцом с единицей⁴⁾.

Пример 3. Множество $\textrm{Mat}_n(\mathbb{Z})$ всех матриц порядка $n$ с целочисленными коэффициентами является ассоциативным кольцом с единицей относительно операций сложения и умножения матриц. Единичным элементом является единичная матрица. Это кольцо некоммутативно.

Пример 4. Пусть $S$ — произвольное множество и $R$ — ассоциативное коммутативное кольцо с единицей. Тогда на множестве $\mathrm{Hom}(S,R)$ отображений из $S$ в $R$ возникает структура ассоциативного коммутативного кольца с единицей, если положить

$(f\cdot g)(x)=f(x)g(x)$ и
$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ для всех $f,g\in\mathrm{Hom}(S,R)$ и $x\in S$ .

Мультипликативной единицей служит постоянное отображение $1_S\colon x\mapsto 1$ , значение которого есть мультипликативная единица кольца $R$ , которое обычно обозначается как $1$ . Нулевым элементом служит постоянное отображение $0_S:x\mapsto 0$ , значение которого есть нулевой элемент $0$ кольца $R$ .

Пример 5. Рассмотрим множество групповых гомоморфизмов $\textrm{End}(G)$ аддитивной абелевой группы $G$ в себя. Определим операцию сложения в $\textrm{End}(G)$ по правилу: $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ для всех $f,g\in\textrm{End}(G)$ и $x\in G$ . В качестве операции умножения возьмем композицию отображений. Тогда $\textrm{End}(G)$ относительно введенных операций является ассоциативным кольцом с единицей. Роль единицы играет тождественное отображение $\textrm{id}_G$ .

Пример 6. Пусть $R$ — произвольное ассоциативное коммутативное кольцо с единицей. Тогда кольцо многочленов $R[T]$ от одной переменной над кольцом $R$ также является ассоциативным коммутативным кольцом с единицей.

Подкольцо и факторкольцо

Определение 5. Подмножество $S$ кольца $R$ называется подкольцом⁵⁾, если $S$ замкнуто относительно всех операций кольца:

$x+(-y)\in S$ и $x\cdot y\in S$ для всех $x,y\in S$ ,

то есть $(S,+)$ является подгруппой в $(R,+)$ , а $(S,\cdot)$ является подгруппоидом $(R,\cdot)$ . Если кольцо $R$ с единицей⁶⁾, то $S$ также должно обладать этим свойством.

Определение 6. Пусть $\rho$ — двусторонний идеал кольца $R$ . Факторгруппа $(R,+)/(\rho,+)$ с индуцированным умножением $(a+\rho)\cdot(b+\rho)=a\cdot b+\rho$ является кольцом, которое называется факторкольцом⁷⁾ $R/\rho$ .

Предложение 1. Операция умножения $(a+\rho)\cdot(b+\rho)=a\cdot b+\rho$ в факторгруппе $(R,+)/(\rho,+)$ определена корректно, то есть не зависит от выбора представителя в смежном классе.

Пример 7. Рассмотрим кольцо целых чисел $\mathbb{Z}$ . Множество всех целых чисел, кратных фиксированному целому числу $m$ будем обозначать через $m\mathbb{Z}$ , $m\mathbb{Z}=\{m\cdot n|n\in\mathbb{Z}\}$ . Это двусторонний идеал в $\mathbb{Z}$ . Факторкольцо $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ состоит из $m$ элементов $\overline{0},\overline{1},\ldots,\overline{m-1}$ , где под $\overline{k}$ понимается множество всех целых чисел, имеющих остаток $k$ при делении на $m$ . Часто $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ обозначают через $\mathbb{Z}_m$ и называют кольцом классов вычетов⁸⁾ по модулю $m$ .