Полугруппа

проверено

Определение

Определение 1. Пара $(X,\ast)$ , сосотящая из множества $X$ и бинарной алгебраической операции $\ast$ называется полугруппой¹⁾, если операция $\ast$ ассоциативна, то есть

$(x\ast y)\ast z=x\ast(y\ast z)$ для $\forall x,y,z\in X$ .

Другими словами полугруппа — это ассоциативный группоид.

Пример 1. Множество натуральных чисел $(\mathbb{N},+)$ является полугруппой, так как операция сложения на $\mathbb{N}$ ассоциативна.

Пример 2. Множество действительных чисел $(\mathbb{R},\cdot)$ , является полугруппой.

Определение 2. Пусть $(X,\ast)$ — полугруппа. Подмножество $Y\subset X$ называется замкнутым относительно операции²⁾ $\ast$ , если $x\ast y\in Y$ для всех $x,y\in Y$ .

Определение 3. Пусть $Y\subset X$ . Пара $(Y,\ast)$ называется подполугруппой³⁾ полугруппы $(X,\ast)$ , если $Y$ замкнуто относительно операции $\ast$ .