Бинарная алгебраическая операция

проверено

Бинарная операция

Определение 1. Бинарная операция1) на непустом множестве $X$ — это отображение $\mu:X\times X\rightarrow X$ из прямого произведения $X\times X$ в $X$.

Для обозначения бинарной алгебраической операции часто вместо записи $\mu(x,y)$ используют запись $x\mu y$. Обычно также для обозначения бинарных алгебраических опреаций используют специальные символы $+$, $\ast$, $\circ,\,\cdot$ и так далее.

На множестве $X$ может быть определено сразу несколько бинарных алгебраических операций. Чтобы подчеркнуть, какая именно операция имеется ввиду, используют скобки, например, $(X,\ast)$.

Пример 1. Операции сложения и умножения в основных алгебраических структурах: группах, кольцах, полях — являются бинарными алгебраическими операциями.

Пример 2. Пусть $\mathcal{P}(U)$ — множество всех подмножеств множества $U$. Операции пересечения $\cap$ и объединения $\cup$ — это бинарные алгебраические операции на множестве $\mathcal{P}(U)$.

Пример 3. Операция, ставящая в соответствие двум натуральным числам $n$ и $m$ их наибольший общий делитель НОД$(n,m)$, является бинарной алгебраической операцией на множестве натуральных чисел.

Виды бинарных операций

Определение 2. Бинарная алгебраическая операция $\ast$ на множестве $X$ называется коммутативной2), если $x\ast y=y\ast x$ для всех $x,y\in X$.

Определение 3. Бинарная алгебраическая операция $\ast$ на множестве $X$ называется ассоциативной3), если $(x\ast y)\ast z=x\ast(y\ast z)$ для всех $x,y,z\in X$.

Пример 4. Операция сложения $+$ на множестве целых чисел $\mathbb{Z}$ является коммутативной и ассоциативной.

Пример 5. Операция композиции отображений на множестве $X$ ассоциативна, но не коммутативна.

Пример 6. Операция умножения $[,]$ в кольце Ли не является ни коммутативной, ни ассоциативной.

Группоид

Определение 4. Множество $X$ с заданной на нем бинарной алгебраической операцией, называется группоидом4).

Если операция в группоиде обозначается символом $+$, то ее называют сложением5) и говорят, что группоид записан аддитивно6). Если операция в группоиде обозначается символом $\cdot$, то ее называют умножением7) и говорят, что группоид записан мультипликативно8).

См. также

Литература

1) binary operation
2) commutative
3) associative
4) groupoid
5) addition
6) additively
7) multiplication
8) multiplicative
glossary/operation/binary/algebraic.txt · Последние изменения: 15.02.2014 15:59:41 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0