Множество натуральных чисел

проверено. аксиома полной индукции…

Аксиоматическое определение по Пеано

Определение 1. Пусть заданы множество $\mathbb{N}$ и отображение $':\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$, удовлетворяющие условиям:

  1. Существует элемент $1 \in \mathbb{N}$ такой, что $1 \not\in \textrm{im}~'$,
  2. Из $'x = 'y$ следует, что $x = y$,
  3. Аксиома полной индукции: $(P(1) \wedge (P(x) \Rightarrow P('x))) \Rightarrow \forall x \in \mathbb{N}: P(x)$.

Тогда будем говорить, что $(\mathbb{N},')$натуральный ряд, а $\mathbb{N}$множество натуральных чисел1).

Пример 1. Реализацией натурального ряда может служить множество слов в алфавите из одной буквы с операцией дописывания буквы в конце слова.

Сложение в множестве натуральных чисел

Предложение 1. Для каждой пары натуральных чисел $x,y$ существует единственным образом определенное число, называемое суммой $ x $ и $ y $, обозначаемое через $x+y$ и удовлетворяющее условиям

  1. $'x=x+1$ для всех $x\in\mathbb{N}$,
  2. $x+'y='(x+y)$ для всех $x,y\in\mathbb{N}$.

Предложение 2. Операция сложения $+$ на множестве натуральных чисел обладает следующими свойствами:

  1. ассоциативность: $(x+y)+z=x+(y+z)$ для любых натуральных $x,y,z$;
  2. коммутативность: $x+y=y+x$ для любых натуральных $x,y$.

Умножение в множестве натуральных чисел

Предложение 3. Для каждой пары натуральных чисел $x,y$ существует единственным образом определенное число, называемое произведением $ x $ и $ y $, обозначаемое через $x\cdot y$ и удовлетворяющее условиям

  1. $x\cdot1=x$ для всех $x\in\mathbb{N}$,
  2. $x\cdot 'y=x\cdot y+x$ для всех $x,y\in\mathbb{N}$.

Предложение 4. Операция умножения $\cdot$ на множестве натуральных чисел обладает следующими свойствами:

  1. ассоциативность: $(x\cdot y)\cdot z=x\cdot(y\cdot z)$ для любых натуральных $x,y,z$;
  2. коммутативность: $x\cdot y=y\cdot x$ для любых натуральных $x,y$;
  3. дистрибутивность: $x\cdot(y+z)=x\cdot y+x\cdot z$ для любых натуральных $x,y,z$.

Реализация натуральных чисел как подмножества действительных

Пусть определено множество действительных чисел $\mathbb{R}$2).

Определение 2. Назовем множество $X\subset\mathbb{R}$ индуктивным3), если из того, что $x\in X$ следует, что $x+1\in X$.

Определение 3. Множеством натуральных чисел $\mathbb{N}$ называется наименьшее индуктивное множество, содержащее 1.

Предложение 5. Каждое натуральное число $n\in\mathbb{N}$ можно представить как сумму конечного числа единиц 1.

Принцип математической индукции

Аксиома полной индукции 4) или индуктивность множества 5) позволяет применять

Принцип математической индукции. Предположим, что для каждого натурального $n\in\mathbb{N}$ имеется некоторое утверждение $P(n)$. Пусть утверждение $P(1)$ верно. Предположим также, что для каждого $l\in\mathbb{N}$ из истинности утверждения $P(l)$ можно вывести истинность утверждения $P(l+1)$. Тогда утверждение $P(n)$ истинно для каждого натурального $ n $.

Пример 3. С помощью принципа математической индукции можно доказать истинность выражения $1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}$. Действительно, при $l=1$ имеем верное выражение $1=\frac{1\cdot 2}{2}$. Предположим, что верно выражение $1+2+3+\ldots+l=\frac{l(l+1)}{2}$. Добавив к обеим частям равенства $l+1$, получим
$1+2+3+\ldots+l+(l+1)=\frac{l(l+1)}{2}+(l+1)$, откуда следует истинность выражения
$1+2+3+\ldots+l+(l+1)=\frac{(l+1)(l+2)}{2}$. Применив принцип математической индукции, получаем, что $1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ верно для любого натурального $ n $.

См. также

Литература

1) positive integer
2) с помощью аксиоматики, не опирающейся на аксиомы натуральных чисел
3) inductive set
4) из аксиоматики Пеано натуральных чисел
5) в случае определения $\mathbb{N}$ как подмножества $\mathbb{R}$
glossary/set/integer/positive.txt · Последние изменения: 15.02.2014 16:00:02 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0