Содержание

Множество натуральных чисел

Множество натуральных чисел

проверено. аксиома полной индукции…

Аксиоматическое определение по Пеано

Определение 1. Пусть заданы множество $\mathbb{N}$ и отображение $':\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ , удовлетворяющие условиям:

Область определения $\textrm{dom}~' = \mathbb{N}$ ,
Существует элемент $1 \in \mathbb{N}$ такой, что $1 \not\in \textrm{im}~'$ ,
Из $'x = 'y$ следует, что $x = y$ ,
Аксиома полной индукции: $(P(1) \wedge (P(x) \Rightarrow P('x))) \Rightarrow \forall x \in \mathbb{N}: P(x)$ .

Тогда будем говорить, что $(\mathbb{N},')$ — натуральный ряд, а $\mathbb{N}$ — множество натуральных чисел¹⁾.

Пример 1. Реализацией натурального ряда может служить множество слов в алфавите из одной буквы с операцией дописывания буквы в конце слова.

Сложение в множестве натуральных чисел

Предложение 1. Для каждой пары натуральных чисел $x,y$ существует единственным образом определенное число, называемое суммой $x$ и $y$ , обозначаемое через $x+y$ и удовлетворяющее условиям

$'x=x+1$ для всех $x\in\mathbb{N}$ ,
$x+'y='(x+y)$ для всех $x,y\in\mathbb{N}$ .

Предложение 2. Операция сложения $+$ на множестве натуральных чисел обладает следующими свойствами:

ассоциативность: $(x+y)+z=x+(y+z)$ для любых натуральных $x,y,z$ ;
коммутативность: $x+y=y+x$ для любых натуральных $x,y$ .

Умножение в множестве натуральных чисел

Предложение 3. Для каждой пары натуральных чисел $x,y$ существует единственным образом определенное число, называемое произведением $x$ и $y$ , обозначаемое через $x\cdot y$ и удовлетворяющее условиям

$x\cdot1=x$ для всех $x\in\mathbb{N}$ ,
$x\cdot 'y=x\cdot y+x$ для всех $x,y\in\mathbb{N}$ .

Предложение 4. Операция умножения $\cdot$ на множестве натуральных чисел обладает следующими свойствами:

ассоциативность: $(x\cdot y)\cdot z=x\cdot(y\cdot z)$ для любых натуральных $x,y,z$ ;
коммутативность: $x\cdot y=y\cdot x$ для любых натуральных $x,y$ ;
дистрибутивность: $x\cdot(y+z)=x\cdot y+x\cdot z$ для любых натуральных $x,y,z$ .

Реализация натуральных чисел как подмножества действительных

Пусть определено множество действительных чисел $\mathbb{R}$ ²⁾.

Определение 2. Назовем множество $X\subset\mathbb{R}$ индуктивным³⁾, если из того, что $x\in X$ следует, что $x+1\in X$ .

Определение 3. Множеством натуральных чисел $\mathbb{N}$ называется наименьшее индуктивное множество, содержащее 1.

Предложение 5. Каждое натуральное число $n\in\mathbb{N}$ можно представить как сумму конечного числа единиц 1.

Принцип математической индукции

Аксиома полной индукции ⁴⁾ или индуктивность множества ⁵⁾ позволяет применять

Принцип математической индукции. Предположим, что для каждого натурального $n\in\mathbb{N}$ имеется некоторое утверждение $P(n)$ . Пусть утверждение $P(1)$ верно. Предположим также, что для каждого $l\in\mathbb{N}$ из истинности утверждения $P(l)$ можно вывести истинность утверждения $P(l+1)$ . Тогда утверждение $P(n)$ истинно для каждого натурального $n$ .

Пример 3. С помощью принципа математической индукции можно доказать истинность выражения $1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ . Действительно, при $l=1$ имеем верное выражение $1=\frac{1\cdot 2}{2}$ . Предположим, что верно выражение $1+2+3+\ldots+l=\frac{l(l+1)}{2}$ . Добавив к обеим частям равенства $l+1$ , получим
$1+2+3+\ldots+l+(l+1)=\frac{l(l+1)}{2}+(l+1)$ , откуда следует истинность выражения
$1+2+3+\ldots+l+(l+1)=\frac{(l+1)(l+2)}{2}$ . Применив принцип математической индукции, получаем, что $1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ верно для любого натурального $n$ .