Множество рациональных чисел

проверено

Определение

Определение 1. Рассмотрим множество упорядоченных пар целых чисел $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}^*=\{(n,m)|n,m\in\mathbb{Z},m\neq 0\}$ . Две упорядоченные пары $(n,m)$ и $(s,t)$ будем считать эквивалентными, если $nt=ms$ . Множество классов эквивалентности на $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}^*$ обозначим через $\mathbb{Q}$ . Определим на $\mathbb{Q}$ операции сложения $+$ и умножения $\cdot$ по правилу:

$\overline{(n,m)}\cdot\overline{(s,t)}=\overline{(ns,mt)}$ ,
$\overline{(n,m)}+\overline{(s,t)}=\overline{(nt+ms,mt)}$ ,

где $\overline{(n,m)}$ обозначает класс эквивалентности элемента $(n,m)$ . Множество $\mathbb{Q}$ с указанными операциями будем называть полем рациональных чисел¹⁾.