Поле

Определение поля

Определение 1. Тройка $(R,+,\cdot)$, состоящая из множества $R$ и операций сложения $+$ и умножения $\cdot$ называется полем1), если выполнены следующие условия:

  1. ассоциативность сложения: $(a+b)+c=a+(b+c)$ для всех $a,b,c\in R$;
  2. существует нулевой элемент $0\in R$ такой, что $a+0=0+a=a$ для всех $a\in R$;
  3. для всех $a\in R$ существует противоположный элемент $-a\in R$ такой, что $-a+a=a+(-a)=0$;
  4. коммутативность сложения: $a+b=b+a$ для всех $a,b\in R$;
  5. ассоциативность умножения: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$ для всех $a,b,c\in R$;
  6. существует единичный элемент $1\in R$ такой, что $a\cdot 1=1\cdot a=a$ для всех $a\in R$. При этом обычно требуют, чтобы $0\neq 1$;
  7. для всех ненулевых $a\in R$ существует обратный элемент $a^{-1}\in R$ такой, что $a^{-1}\cdot a=a\cdot a^{-1}=1$;
  8. коммутативность умножения: $a\cdot b=b\cdot a$ для всех $a,b\in R$;
  9. дистрибутивность: $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ для всех $a,b,c\in R$2).

Иными словами, поле — это коммутативное тело.

Пример 1. Множество комплексных чисел $\mathbb{C}$ с определенными операциями сложения $+$ и умножения $\cdot$ является полем.

Пример 2. Множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ со стандартными операциями сложения и умножения является полем.

Пример 3. Для простого числа $p$ кольцо $\mathbb{Z}_p$ классов вычетов по модулю $p$ является полем.

Подполе и расширение поля

Определение 2. Подполем3) поля $E$ называется подкольцо $F\subset E$, являющееся полем. Говорят также, что $E$расширение поля4) $F$.

Пример 4. Множество действительных чисел $\mathbb{R}$ является подполем поля комплексных чисел $\mathbb{C}$. Соответственно, $\mathbb{C}$ — расширение поля $\mathbb{R}$.

Пример 5. Поле рациональных чисел $\mathbb{Q}$ является подполем поля действительных чисел $\mathbb{R}$.

Предложение 1. Пусть $E$ — расширение поля $F$. Тогда $E$ является векторным пространством над $F$.

Доказательство.

Доказательство.

Доказательство.

Поскольку для $b\in F\subset E$ и $\alpha\in E$ выражение $b\alpha$ — это умножение в $E$, то из аксиом поля следует, что выполнены все аксиомы векторного пространства:

  1. $E$ — абелева группа по сложению,
  2. $b(\alpha_1+\alpha_2)=b\alpha_1+b\alpha_2$ для всех $b\in F,\alpha_1,\alpha_2\in E$,
  3. $(b_1+b_2)\alpha=b_1\alpha+b_2\alpha$ для всех $b_1,b_2\in F,\alpha\in E$,
  4. $b_1(b_2\alpha)=(b_1b_2)\alpha$ для всех $b_1,b_2\in F,\alpha\in E$,
  5. $1\cdot\alpha=\alpha$ для всех $\alpha\in E$.

Конечное расширение

Определение 4. Расширение $E$ — поля $ F $ называется конечным5), если $E$конечномерное векторное пространство над $F$, то есть в поле $E$ найдутся такие элементы $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$, что любой элемент $\alpha$ из $E$ можно единственным образом представить в виде

$\alpha=b_1\alpha_1+b_2\alpha_2+\ldots+b_n\alpha_n$,

где $b_1,b_2,\ldots,b_n$ — элементы из $F$.

Определение 5. Пусть $E$ — расширение поля $F$. Размерность векторного пространства $E$ над $F$ называется степенью расширения6) $E$ над $F$ и обозначается символом $[E:F]$. Степень расширения может быть бесконечной.

Пример 6. Поле $\mathbb{C}$ — конечное расширение степени 2 над $\mathbb{R}$ с базисом $\{1,i\}$, так как любое комплексное число единственным образом представляется в виде $a+bi$, где $a,b$ — действительные числа.

Предложение 2. Пусть $k$ — поле и $F$ и $E$ — расширения поля $k$, причем $F\subset E$. Тогда

  1. $[E:k]=[E:F][F:k]$,
  2. если $\{\alpha_i\}_{i\in I}$ — базис $F$ над $k$ и $\{\beta_j\}_{j\in J}$ — базис $E$ над $F$, то $\{\alpha_i\beta_j\}_{(i,j)\in I\times J}$ — базис $E$ над $k$.

Следствие 1. Пусть $k$ — поле и $F$ и $E$ — расширения поля $k$, причем $F\subset E$. Расширение $E$ поля $k$ конечно тогда и только тогда, когда конечны расширения $E$ над $F$ и $F$ над $k$.

Сопутствующие статьи

Литература

1) field
2) свойство $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$ не пишем, подразумевая коммутативность умножения
3) subfield
4) field extension
5) finite extension
6) degree of extension
glossary/field.txt · Последние изменения: 15.02.2014 16:07:34 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0