Содержание
Поле
Определение поля
Определение 1. Тройка , состоящая из множества
и операций сложения
и умножения
называется полем1), если выполнены следующие условия:
- ассоциативность умножения:
для всех
;
- коммутативность умножения:
для всех
;
Иными словами, поле — это коммутативное тело.
Пример 1. Множество комплексных чисел с определенными операциями сложения
и умножения
является полем.
Пример 2. Множество рациональных чисел со стандартными операциями сложения и умножения является полем.
Пример 3. Для простого числа кольцо
классов вычетов по модулю
является полем.
Подполе и расширение поля
Определение 2. Подполем3) поля называется подкольцо
, являющееся полем. Говорят также, что
— расширение поля4)
.
Пример 4. Множество действительных чисел является подполем поля комплексных чисел
. Соответственно,
— расширение поля
.
Пример 5. Поле рациональных чисел является подполем поля действительных чисел
.
Предложение 1. Пусть — расширение поля
. Тогда
является векторным пространством над
.
Конечное расширение
Определение 4. Расширение — поля
называется конечным5), если
— конечномерное векторное пространство над
, то есть в поле
найдутся такие элементы
, что любой элемент
из
можно единственным образом представить в виде
,
где — элементы из
.
Определение 5. Пусть — расширение поля
. Размерность векторного пространства
над
называется степенью расширения6)
над
и обозначается символом
. Степень расширения может быть бесконечной.
Пример 6. Поле — конечное расширение степени 2 над
с базисом
, так как любое комплексное число единственным образом представляется в виде
, где
— действительные числа.
Предложение 2. Пусть — поле и
и
— расширения поля
, причем
. Тогда
,
- если
— базис
над
и
— базис
над
, то
— базис
над
.
Следствие 1. Пусть — поле и
и
— расширения поля
, причем
. Расширение
поля
конечно тогда и только тогда, когда конечны расширения
над
и
над
.
Сопутствующие статьи
Литература
![$(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$ $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$](/doku.php/lib/exe/fetch.php?cache=&media=latex%3A6eab31b0d3f62a89fe00fbce06151006.png)