Содержание
Базис и размерность векторного пространства
проверено. пример 1 весьма забавен. а вообще коряво с нулевым пространством и его базисом. пример 4 - смущает декартово произведение
Определение
Определение 1. Базисом1) ненулевого векторного пространства над полем
называется система векторов, которая
Теорема 1. Ненулевое векторное пространство всегда обладает базисом. Иными словами,
является свободным
-модулем.
Определение 2. Размерностью2) ненулевого векторного пространства называется мощность его базиса. Для нулевого векторного пространства
полагают, что его размерность равна нулю. Размерность векторного пространства
над полем
обозначается через
.
Определение 3. Говорят, что пространство конечномерно3), если
или базис
состоит из конечного числа векторов. В противном случае говорят, что бесконечномерно4).
Пример 1. Поле действительных чисел является бесконечномерным векторным пространством над полем рациональных чисел
.
Пример 2. Поле комплексных чисел является двумерным вещественным векторным пространством5).
Пример 3. Произвольное поле является одномерным векторным пространством над собой с базисом
.
Предложение 1. Для конечномерного векторного пространства набор векторов является базисом, если каждый вектор
единственным образом представляется в виде
.
Определение 3. Пусть — базис
, и
. Скаляры
называются координатами6) вектора
в данном базисе.
Пример 4. Пусть — поле, и
—
-мерное координатное пространство. Векторы
составляют базис
.
Предложение 2. В конечномерном векторном пространстве число векторов базиса не зависит от выбора базиса.
Переход от одного базиса к другому
Пусть —
-мерное векторное пространство над полем
с некоторыми базисами
и
.
Векторы одного базиса можно выразить через векторы другого:
.
Определение 4. Матрица, определенная коэффициентами вышеприведенного разложения
,
называется матрицей перехода7) от базиса к базису
.
Замечание 1. Координаты вектора относительно базиса
образуют
-й столбец матрицы
.
Предложение 3. Пусть вектор имеет координаты
в базисе
и координаты
в базисе
. При переходе от базиса
к базису
координаты вектора
в новом базисе выражаются через координаты в старом базисе по формуле:
,
где — матрица, обратная к
.