Свободный модуль

проверено. вообще букву K я здесь вижу впервые. в примере 3 обозначение суммы непривычное

Определение

Пусть $ M $(левый) модуль над ассоциативным кольцом $ R $ и $ S $подмножество в $ M $.

Определение 1. Модуль $ M $ называется конечно порожденным1), или модулем конечного типа, если он имеет конечное число образующих.

Определение 2. Модуль, порожденный единственным элементом $ x $, записывается в виде $Rx$2) и называется главным модулем3).

Определение 3. Множество $ S $ называется базисом4) модуля $ M $, если $ S $ не пусто, порождает $ M $ и линейно независимо.

Предложение 1. Если $ S $ — базис модуля $ M $, то каждый элемент $ x $ из $ M $ единственным образом образом представляется в виде линейной комбинации элементов из $ S $.

Определение 4. Под свободным модулем5) понимается модуль, обладающий базисом, или же нулевой модуль.

Определение 5. Размерностью6) $\textrm{dim}_R(M)$ свободного модуля $ M $ над кольцом $ R $ называется мощность его базиса.

Пример 1. Пусть $ R $ассоциативное кольцо с единицей, тогда $ R $ является конечно порожденным модулем над собой, а его базис состоит из одного элемента $S=\{1\}$. Таким образом, $ R $ — главный модуль над собой.

Пример 2. Кольцо многочленов $K[T]$ от одной переменной над коммутативным ассоциативным кольцом с единицей $ K $ порождено (как модуль над $ K $) бесконечным множеством $S=\{T^n\vert n\in\mathbb{Z}_+\}$ линейно независимым над $ K $.

Пример3. Пусть $ I $ — непустое множество, и для каждого $i\in I$ пусть $R_i=R$, где $ R $ — ассоциативное кольцо с единицей, и все $R_i$ рассматриваются как $ R $-модули. Положим $P=\underset{i\in I}{\coprod}R_i$. Модуль $ P $ обладает базисом, состоящим из элементов $e_i$ в $ P $, $ i $-й компонентой которых является единичный элемент из $R_i$, а все другие компоненты равны нулю.

См. также

Литература

1) finitely spanned module
2) Иногда используется обозначение $(x)$, чаще употребляемое для идеалов кольца.
3) principal module
4) basis
5) free module
6) dimension
glossary/module/free.txt · Последние изменения: 14.09.2011 01:12:16 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0