Содержание
Матрица
Основные определения
Определение 1. Матрицей1) размера
с элементами из множества
называется семейство
элементов из
, пронумерованных упорядоченными парами натуральных чисел
, где
,
. При этом пишут
или, более кратко, . Для фиксированного
семейство
называется
-й строкой2) матрицы
. При фиксированном
семейство
называется
-м столбцом3) матрицы
. Матрица размера
называется строкой4), матрица размера
— столбцом5).
Определение 2. Матрица размера
называется квадратной матрицей6) порядка
.
Определение 3. Пусть — матрица порядка
. Множество
называется главной диагональю7) матрицы.
Как правило, от множества требуется, чтобы оно было полем или кольцом.
Определение 4. Пусть — матрица порядка
. Следом матрицы8)
называется сумма элементов на ее главной диагонали:
.
Определение 5. Пусть — матрица порядка
с элементами из кольца
. Матрица
называется диагональной9) и обозначается как
, если
при
.
Определение 6. Пусть — матрица порядка
с элементами из кольца
. Матрица
называется верхней треугольной10), если
при
.
Определение 7. Пусть — матрица порядка
с элементами из кольца
. Матрица
называется нижней треугольной11), если
при
.
Определение 8. Пусть — диагональная матрица порядка
с элементами из кольца
. Матрица
называется скалярной12), если все ее элементы на главной диагонали одинаковы.
Определение 9. Скалярная матрица порядка
с элементами из кольца
называется единичной13), если все ее элементы на главной диагонали равны 1.
Определение 10. Матрица называется симметричной14), если
для всех
.
Определение 11. Матрица называется кососимметричной15), если
для всех
.
Пример 1. Матрица вида является верхнетреугольной матрицей порядка 2.
Операции над матрицами
Транспонирование
Пусть — матрица порядка
.
Определение 12. Матрица порядка
называется матрицей, транспонированной16) к
.
Сложение и умножение на скаляр
Пусть и
— матрицы размера
над кольцом
.
Определение 13. Матрица размера
с элементами
называется суммой матриц
и
.
Определение 14. Умножение матрицы на скаляр
определяется правилом:
.
Предложение 1. Относительно введенных операций сложения и умножения на скаляр множество всех матриц размера над полем
образует векторное пространство размерности
.
Векторное пространство матриц порядка над полем
обозначается
.
Умножение матриц
Пусть и
— матрицы над кольцом
размера
и
соответственно.
Определение 15. Произведение матриц и
определено, если
. Результатом умножения является матрица
размера
с элементами
.
Пример 2. Произведением матрицы размера
и столбца
является столбец
.
Предложение 2. Умножение матриц ассоциативно, то есть , если определены
и
.
Пример 3. Умножение матриц не коммутативно: , что не равно
.
Предложение 3. Если умножение соответствующих матриц определено, то
;
.
Предложение 4. Относительно матричного умножения пространство матриц над полем
является ассоциативной алгеброй над
.