Матрица

Основные определения

Определение 1. Матрицей1) $A$ размера $m\times n$ с элементами из множества $S$ называется семейство $(a_{ij})$ элементов из $S$, пронумерованных упорядоченными парами натуральных чисел $(i,j)$, где $1\leqslant i\leqslant m$, $1\leqslant j\leqslant n$. При этом пишут

$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & \ldots &a_{2n}\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}\end{pmatrix}$

или, более кратко, $A=(a_{ij})$. Для фиксированного $ i $ семейство $(a_{i1},\ldots,a_{in})$ называется $ i $-й строкой2) матрицы $ A $. При фиксированном $ j $ семейство $(a_{1j},\ldots,a_{nj})$ называется $ j $-м столбцом3) матрицы $ A $. Матрица размера $1\times n$ называется строкой4), матрица размера $m\times 1$столбцом5).

Определение 2. Матрица $ A $ размера $n\times n$ называется квадратной матрицей6) порядка $ n $.

Определение 3. Пусть $ A $ — матрица порядка $ n $. Множество $\{a_{ii}\vert1\leqslant i\leqslant n\}$ называется главной диагональю7) матрицы.

Как правило, от множества $ S $ требуется, чтобы оно было полем или кольцом.

Определение 4. Пусть $ A $ — матрица порядка $ n $. Следом матрицы8) $ A $ называется сумма элементов на ее главной диагонали: $\textrm{tr}~A=a_{11}+a_{22}+\ldots+a_{nn}$.

Определение 5. Пусть $ A $ — матрица порядка $ n $ с элементами из кольца $ R $. Матрица $ A $ называется диагональной9) и обозначается как $\textrm{diag}(a_{11},\ldots,a_{nn})$, если $a_{ij}=0$ при $i\neq j$.

Определение 6. Пусть $ A $ — матрица порядка $ n $ с элементами из кольца $ R $. Матрица $ A $ называется верхней треугольной10), если $a_{ij}=0$ при $j<i$.

Определение 7. Пусть $ A $ — матрица порядка $ n $ с элементами из кольца $ R $. Матрица $ A $ называется нижней треугольной11), если $a_{ij}=0$ при $j>i$.

Определение 8. Пусть $ A $ — диагональная матрица порядка $ n $ с элементами из кольца $ R $. Матрица $ A $ называется скалярной12), если все ее элементы на главной диагонали одинаковы.

Определение 9. Скалярная матрица $ A $ порядка $ n $ с элементами из кольца $ R $ называется единичной13), если все ее элементы на главной диагонали равны 1.

Определение 10. Матрица $A$ называется симметричной14), если $a_{ij}=a_{ji}$ для всех $1\leqslant i,j\leqslant n$.

Определение 11. Матрица $A$ называется кососимметричной15), если $a_{ij}=-a_{ji}$ для всех $1\leqslant i,j\leqslant n$.

Пример 1. Матрица вида $\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ является верхнетреугольной матрицей порядка 2.

Операции над матрицами

Транспонирование

Пусть $A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & \ldots &a_{2n}\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}\end{pmatrix}$ — матрица порядка $m\times n$.

Определение 12. Матрица $A^t=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{21} & \ldots & a_{m1}\\a_{12} & a_{22} & \ldots &a_{m2}\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\a_{1n} & a_{2n} & \ldots & a_{mn}\end{pmatrix}$ порядка $n\times m$ называется матрицей, транспонированной16) к $ A $.

Сложение и умножение на скаляр

Пусть $A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & \ldots &a_{2n}\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}\end{pmatrix}$ и $B=\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1n}\\a_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2n}\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\b_{m1} & b_{m2} & \ldots & b_{mn}\end{pmatrix}$ — матрицы размера $m\times n$ над кольцом $ R $.

Определение 13. Матрица $\end{pmatrix}$ размера $m\times n$ с элементами $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$ называется суммой матриц $ A $ и $ B $.

Определение 14. Умножение матрицы $ A $ на скаляр $r\in R$ определяется правилом: $rA=(ra_{ij})$.

Предложение 1. Относительно введенных операций сложения и умножения на скаляр множество всех матриц размера $m\times n$ над полем $ F $ образует векторное пространство размерности $mn$.

Векторное пространство матриц порядка $ n $ над полем $ F $ обозначается $\textrm{Mat}_n(F)$.

Умножение матриц

Пусть $A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & \ldots &a_{2n}\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}\end{pmatrix}$ и $B=\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1q}\\a_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2q}\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\b_{p1} & b_{p2} & \ldots & b_{pq}\end{pmatrix}$ — матрицы над кольцом $ R $ размера $m\times n$ и $p\times q$ соответственно.

Определение 15. Произведение матриц $ A $ и $ B $ определено, если $n=p$. Результатом умножения является матрица $C=AB$ размера $m\times q$ с элементами $c_{ij}=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}$.

Пример 2. Произведением матрицы $\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & \ldots &a_{2n}\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}\end{pmatrix}$ размера $m\times n$ и столбца $\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\ldots\\x_n\end{pmatrix}$ является столбец $\begin{pmatrix}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n\\\ldots\\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n\end{pmatrix}$.

Предложение 2. Умножение матриц ассоциативно, то есть $(AB)C=A(BC)$, если определены $AB$ и $BC$.

Пример 3. Умножение матриц не коммутативно: $\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2\\ 0 & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & -1\end{pmatrix}$, что не равно $\begin{pmatrix}1 & 2\\ 0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 3\\ 0 & -1\end{pmatrix}$.

Предложение 3. Если умножение соответствующих матриц определено, то

  • $(A+B)C=AC+BC$;
  • $C(A+B)=CA+CB$.

Предложение 4. Относительно матричного умножения пространство $\textrm{Mat}_n(F)$ матриц над полем $ F $ является ассоциативной алгеброй над $ F $.

См. также

Литература

1) matrix
2) row
3) column
4) row vector
5) column vector
6) square matrix
7) main diagonal
8) trace of matrix
9) diagonal
10) upper triangular matrix
11) lower triangular matrix
12) scalar matrix
13) identity matrix
14) symmetric
15) skewsymmetric
16) transposed matrix
glossary/matrix.txt · Последние изменения: 15.02.2014 16:11:45 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0