Содержание
Классические алгебры Ли
Полная линейная алгебра
Пусть — векторное пространство над полем , и — алгебра линейных операторов на , где умножением является композиция линейных операторов.
Определение 1. Алгебра Ли ассоциативной алгебры с операцией умножения для любых называется полной линейной алгеброй1) и обозначается символом .
Пусть пространство конечномерно, . Зафиксировав в некоторый базис, можно каждому линейному оператору взаимно однозначно поставить в соответствие матрицу порядка с коэффициентами из . В результате пространство отождествляется с пространством матриц порядка 2), которое обозначается через .
Стандартный базис алгебры состоит из матриц , у которых в -й строке, -м столбце стоит 1, а в остальных позициях — нули.
Определение 2. Любая подалгебра в называется линейной алгеброй Ли3).
Специальная линейная алгебра
Пусть .
Определение 3. Множество эндоморфизмов пространства с нулевым следом является подалгеброй в , которая называется специальной линейной алгеброй4). Матричная реализация этой алгебры обозначается через и имеет следующий стандартный базис:
- при ,
- , где .
Ортогональная алгебра
Случай пространства нечетной размерности
Пусть .
Обозначим через матрицу , где — единичная матрица порядка . Данная матрица определяет симметрическую невырожденную билинейную форму на пространстве .
Определение 4. Множество всех линейных операторов на пространстве , удовлетворяющих условию для любых , образует подалгебру в , которая обозначается через и называется ортогональной линейной алгеброй5). Матричная реализация этой алгебры обозначается через . Стандартным базисом этой алгебры служит набор матриц6)
- , где ,
- , где ,
- , где ,
- , где .
Случай пространства четной размерности
Пусть .
Обозначим через матрицу . Данная матрица определяет симметрическую невырожденную билинейную форму на пространстве .
Определение 5. Множество всех линейных операторов на пространстве , удовлетворяющих условию для любых , образует подалгебру в , которая обозначается через и называется ортогональной линейной алгеброй7). Матричная реализация этой алгебры обозначается через . Стандартным базисом этой алгебры является множество
- , где ,
- , где ,
- , где ,
- , где ,
- , где ,
- , где .
Симплектическая алгебра
Пусть .
Обозначим через матрицу , где — единичная матрица порядка . Данная матрица определяет кососимметрическую невырожденную билинейную форму на пространстве .
Определение 6. Множество всех линейных операторов на пространстве , удовлетворяющих условию для любых , образует подалгебру в , которая обозначается через и называется симплектической линейной алгеброй8). Матричная реализация этой алгебры обозначается через . Стандартным базисом этой алгебры служит набор матриц
- , где ,
- , где ,
- , где ,
- , где ,
- , где ,
- , где .
Классические алгебры Ли
Описанные выше специальная, симплектическая и ортогональная алгебры Ли являются так называемыми классическими алгебрами Ли. Вместе с исключительными алгебрами , и они составляют полный перечень алгебр Ли над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики.
серия | ||||
матричная реализация | ||||
размерность | ||||
название матричной реализации | специальная алгебра | ортогональная алгебра | симплектическая алгебра | ортогональная алгебра |