Содержание
Векторное пространство
Определение
Определение 1. Пусть — некоторое поле. Абелева группа1)
называется векторным пространством2), или линейным пространством3) над полем
, если задано отображение
, удовлетворяющее условиям:
для всех
;
для всех
;
для всех
;
для всех
.
При этом элементы пространства называются векторами4), а операция
— умножением на скаляр.
Замечание 1.
Данное определение можно переформулировать в терминах модулей: левый унитарный модуль над полем
называется векторным пространством. Кроме того, в некоммутативной алгебре под векторным пространством понимают более широкий класс модулей, сохраняющий все основные свойства векторных пространств в их классическом понимании: левый унитарный модуль
над телом
называется векторным пространством.
Пример 1. Нульмерное векторное пространство состоит из одного элемента:
.
Пример 2. -мерное координатное пространство над полем
представляет собой декартово произведение
множителей
. Элементы
записываются в виде векторов-строк
5). Операции сложения и умножения на скаляр определены покоординатно:
,
.
Нулевым элементом является вектор , противоположным для
служит вектор-строка
.
Пример 3. Множество функций, определенных на отрезке
и интегрируемых на нем по Лебегу, с поточечной операцией сложения
,
является векторным пространством над полем действительных чисел.
Пример 4. Пусть . Введем на
операцию
по правилу
и операцию умножения на скаляр
по правилу
. Нетрудно проверить, что
с указанными операциями является векторным пространством над полем
. Нейтральным элементом служит
.
Подпространство векторного пространства
Определение 2. Непустое множество векторов векторного пространства
называется линейным подпространством6), если:
для любых векторов
;
для всех
.
Определение 3. Коразмерностью7) линейного подпространства называется разность
.
Определение 4. Подпространство, коразмерность которого равна 1, называется гиперплоскостью8).
Факторпространство
Пусть — подпространство векторного пространства
. Тогда
является подгруппой9) абелевой группы
, поэтому определена факторгруппа
.
Предложение 1. Отображение , определенное правилом:
для всех
и
корректно, то есть не зависит от выбора представителя смежного класса. Кроме того, данное отображение удовлетворяет всем свойствам из определения 1.
Определение 5. Факторпространством10) векторного пространства по подпространству
называется факторгруппа
с отображением
, указанным в предложении 1.