Содержание

Линейное отображение векторных пространств

Линейное отображение векторных пространств

проверено. неплохо было бы написать про логарифмы

Определение

Определение 1. Пусть $V_1,V_2$ — векторные пространства над полем $F$ . Отображение $\varphi:V_1\rightarrow V_2$ называется линейным¹⁾, если

$\varphi(v_1+v_2)=\varphi(v_1)+\varphi(v_2)$ для всех $v_1,v_2\in V_1$ ;
$a\varphi(v)=\varphi(av)$ для всех $v\in V_1$ , $a\in F$ .

Пример 1. Нулевое линейное отображение $\varphi:V_1\rightarrow V_2$ , заданное правилом $\varphi(v)=0$ для всех $v\in V_1$ .

Пример 2. Тождественное линейное отображение $\textrm{id}_V:V\rightarrow V$ задается формулой $\textrm{id}_V(v)=v$ для всех $v\in V$ .

Пример 3. Отображение $\ln\colon\mathbb{R}_+\rightarrow\mathbb{R}^1\colon a\mapsto \ln(a)$ векторного пространства $\mathbb{R}_+$ из примера 4 в одномерное вещественное пространство $\mathbb{R}^1$ , является линейным отображением векторных пространств.

Определение 2. Линейное отображение $\varphi:V_1\rightarrow V_2$ называется изоморфизмом векторных пространств²⁾, если $\varphi$ биективно.

Предложение 1. Два конечномерных векторных пространства $V_1$ и $V_2$ над полем $F$ изоморфны тогда и только тогда, когда у них одинаковые размерности.

Частные случаи

Определение 3. Линейное отображение $\varphi:V\rightarrow V$ называется линейным оператором³⁾ на $V$ .

Замечание 1. В категорном смысле линейный оператор — это эндоморфизм векторного пространства $V$ . Соответственно, множество всех линейных операторов на $V$ обозначается символом $\textrm{End}(V)$ .

Пример 4. Линейный оператор $\varphi:V\rightarrow V$ , определенный правилом: $\varphi(v)=a v$ для всех $v\in V$ и некоторого фиксированного $a\in F$ . Такой оператор называется гомотетией⁴⁾.

Определение 4. Линейное отображение $\varphi\colon V\rightarrow F$ ⁵⁾ называется линейной функцией⁶⁾, или линейным функционалом⁷⁾, или линейной формой⁸⁾ на пространстве $V$ .

Свойства линейного отображения

Определение 5. Ядром⁹⁾ линейного отображения $\varphi\colon V_1\rightarrow V_2$ называется множество $\ker\varphi=\{v\in V_1\vert\varphi(v)=0\}$ .

Определение 6. Образом¹⁰⁾ линейного отображения $\varphi\colon V_1\rightarrow V_2$ называется множество $\textrm{im}~\varphi=\{v\in V_2\vert\exists u\in V_1:\varphi(u)=v\}$ .

Замечание 2. Как следует из определений, $\ker\varphi\subseteq V_1$ , $\textrm{im}~\varphi\subseteq V_2$ , то есть ядро и образ являются подмножествами векторных пространств.

Предложение 2. Ядро и образ линейного отображения $\varphi\colon V_1\rightarrow V_2$ являются подпространствами векторных пространств $V_1$ и $V_2$ , соответственно.

Предложение 3. Пусть $V_1$ — конечномерное векторное пространство, и $\varphi:V_1\rightarrow V_2$ — линейное отображение. Тогда $\textrm{ker}\varphi$ и $\textrm{im}\varphi$ конечномерны и $\textrm{dim ker}\varphi+\textrm{dim im}\varphi=\textrm{dim}V_1$ .

Предложение 4. Пусть $V_1$ — конечномерное векторное пространство. Линейное отображение $\varphi$ инъективно тогда и только тогда, когда $\textrm{ker}\varphi = 0$ .

Следствие 1. Пусть $V_1$ — конечномерное векторное пространство. Линейное отображение $\varphi$ сюръективно тогда и только тогда, когда $\textrm{dim}V_2=\textrm{dim im}\varphi$ .

Предложение 5. Множество всех линейных отображений из векторного пространства $V_1$ в векторное пространство $V_2$ является векторным пространством относительно операций сложения и умножения на скаляр, определенных правилами:

для двух линейных отображений $\varphi_1$ и $\varphi_2$ пространства $V_1$ в пространство $V_2$ их сумма определена формулой: $(\varphi_1+\varphi_2)(v)=\varphi_1(v)+\varphi_2(v)$ для всех $v\in V_1$ ;
для линейного отображения $\varphi\colon V_1\rightarrow V_2$ умножение на скаляр $\alpha$ определено формулой: $(\alpha\varphi)(v)=\alpha(\varphi(v))$ для всех $v\in V_1$ .

Замечание 3. Векторное пространство линейных отображений из $V_1$ в $V_2$ обозначается через $\textrm{Hom}_F(V_1,V_2)$ .

См. также

Литература

линейная алгебра, вектор, векторное пространство, гомоморфизм векторных пространств, гомотетия, линейное отображение, линейный оператор

¹⁾

linear mapping

²⁾

isomorphism of vector spaces

³⁾

linear operator

⁴⁾

homothety

⁵⁾

$F$ является векторным пространством, см.пример 3

⁶⁾

linear function

⁷⁾

linear functional

⁸⁾

linear form

⁹⁾

kernel

¹⁰⁾

image

glossary/morphism/space/linear.txt · Последние изменения: 15.02.2014 12:12:23 — Ладилова Анна

Наверх