Матрица линейного отображения

проверено

Определение

Определение 1. Пусть $V_1$ и $V_2$конечномерные векторные пространства над полем $F$ с базисами $\{e_1,\ldots,e_n\}$ и $\{f_1,\ldots,f_m\}$ соответственно. Рассмотрим линейное отображение $\varphi\colon V_1\rightarrow V_2$. Тогда $\varphi(e_i)$ можно представить в виде $\varphi(e_i)=\sum_{i=1}^ma_{ji}f_j$ для некоторых $a_{ji}\in F$. Матрица $A_{\varphi}=\begin{pmatrix}a_{11} & \ldots & a_{1n}\\\ldots & \ldots & \ldots\\a_{m1} & \ldots & a_{mn}\end{pmatrix}$ называется матрицей линейного отображения1) $\varphi\colon V_1\rightarrow V_2$ в базисах $\{e_1,\ldots,e_n\}$ и $\{f_1,\ldots,f_m\}$. Столбцами этой матрицы являются координаты векторов $\varphi(e_i)$ в базисе $\{f_1,\ldots,f_m\}$.

Пусть произвольный вектор $v\in V_1$ имеет следующие координаты в разложении по базису $\{e_1,\ldots,e_n\}$, $v=x_1e_1+\ldots+x_ne_n$, тогда его образ $\varphi(v)$ из пространства $V_2$ в базисе $\{f_1,\ldots,f_m\}$ имеет разложение $\varphi(v)=y_1f_1+\ldots+y_mf_m$, где $y_i=\sum_{k=1}^na_{ik}x_k$. То есть
$\begin{pmatrix}y_1\\\ldots\\y_m\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11} & \ldots & a_{1n}\\\ldots & \ldots & \ldots\\a_{m1} & \ldots & a_{mn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\\ldots\\x_n\end{pmatrix}$.

Предложение 1. Существует взаимно однозначное отображение между множеством всех линейных отображений из $ n $-мерного векторного пространства $V_1$ в $ m $-мерное векторное пространство $V_2$ с фиксированными базисами и множеством матриц размера $m\times n$.

Определение 2. Матрица линейного оператора2) — это матрица линейного отображения в случае, когда $V_1=V_2$.

Пример 1. Пусть $\{e_1,\ldots,e_n\}$ — базис $ n $-мерного векторного пространства $ V $. Рассмотрим тождественный3) линейный оператор $\textrm{id}\colon V\rightarrow V$. Так как $\textrm{id}(e_i)=e_i$, то матрица $A_{\textrm{id}}$ — это в точности единичная матрица
$A_{\textrm{id}}=\begin{pmatrix}1 & 0 & \ldots & 0\\0 & 1 & \ldots & 0\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\0 & 0 & \ldots & 1\end{pmatrix}$.

Предложение 2. Пусть $V_1,V_2,V_3$ — конечномерные векторные пространства, $\varphi:V_1\rightarrow V_2$ и $\psi:V_2\rightarrow V_3$ — линейные отображения. Тогда $A_{\psi\circ\varphi}=A_{\psi}A_{\varphi}$.

Умножением двух линейных операторов $\varphi_1$ и $\varphi_2$ на пространстве $ V $ будем считать их композицию: $(\varphi_1,\varphi_2)\mapsto\varphi_1\circ\varphi_2$. Тогда справедливо

Предложение 3. Пространство линейных операторов $\textrm{End}(V)$ является ассоциативной алгеброй над полем $ F $. В случае, если пространство $ V $ конечномерно, алгебра $\textrm{End}(V)$ изоморфна алгебре всех матриц порядка $ n $ над полем $ F $. Изоморфизм задается отображением $\varphi\mapsto A_{\varphi}$.

См. также

Литература

1) matrix of linear mapping
2) matrix of linear operator
glossary/matrix/map/linear.txt · Последние изменения: 15.02.2014 16:14:33 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0