Содержание

Матрица

Матрица

Основные определения

Определение 1. Матрицей¹⁾ $A$ размера $m\times n$ с элементами из множества $S$ называется семейство $(a_{ij})$ элементов из $S$ , пронумерованных упорядоченными парами натуральных чисел $(i,j)$ , где $1\leqslant i\leqslant m$ , $1\leqslant j\leqslant n$ . При этом пишут

$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & \ldots &a_{2n}\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}\end{pmatrix}$

или, более кратко, $A=(a_{ij})$ . Для фиксированного $i$ семейство $(a_{i1},\ldots,a_{in})$ называется $i$ -й строкой²⁾ матрицы $A$ . При фиксированном $j$ семейство $(a_{1j},\ldots,a_{nj})$ называется $j$ -м столбцом³⁾ матрицы $A$ . Матрица размера $1\times n$ называется строкой⁴⁾, матрица размера $m\times 1$ — столбцом⁵⁾.

Определение 2. Матрица $A$ размера $n\times n$ называется квадратной матрицей⁶⁾ порядка $n$ .

Определение 3. Пусть $A$ — матрица порядка $n$ . Множество $\{a_{ii}\vert1\leqslant i\leqslant n\}$ называется главной диагональю⁷⁾ матрицы.

Как правило, от множества $S$ требуется, чтобы оно было полем или кольцом.

Определение 4. Пусть $A$ — матрица порядка $n$ . Следом матрицы⁸⁾ $A$ называется сумма элементов на ее главной диагонали: $\textrm{tr}~A=a_{11}+a_{22}+\ldots+a_{nn}$ .

Определение 5. Пусть $A$ — матрица порядка $n$ с элементами из кольца $R$ . Матрица $A$ называется диагональной⁹⁾ и обозначается как $\textrm{diag}(a_{11},\ldots,a_{nn})$ , если $a_{ij}=0$ при $i\neq j$ .

Определение 6. Пусть $A$ — матрица порядка $n$ с элементами из кольца $R$ . Матрица $A$ называется верхней треугольной¹⁰⁾, если $a_{ij}=0$ при $j<i$ .

Определение 7. Пусть $A$ — матрица порядка $n$ с элементами из кольца $R$ . Матрица $A$ называется нижней треугольной¹¹⁾, если $a_{ij}=0$ при $j>i$ .

Определение 8. Пусть $A$ — диагональная матрица порядка $n$ с элементами из кольца $R$ . Матрица $A$ называется скалярной¹²⁾, если все ее элементы на главной диагонали одинаковы.

Определение 9. Скалярная матрица $A$ порядка $n$ с элементами из кольца $R$ называется единичной¹³⁾, если все ее элементы на главной диагонали равны 1.

Определение 10. Матрица $A$ называется симметричной¹⁴⁾, если $a_{ij}=a_{ji}$ для всех $1\leqslant i,j\leqslant n$ .

Определение 11. Матрица $A$ называется кососимметричной¹⁵⁾, если $a_{ij}=-a_{ji}$ для всех $1\leqslant i,j\leqslant n$ .

Пример 1. Матрица вида $\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ является верхнетреугольной матрицей порядка 2.

Операции над матрицами

Транспонирование

Пусть $A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & \ldots &a_{2n}\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}\end{pmatrix}$ — матрица порядка $m\times n$ .

Определение 12. Матрица $A^t=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{21} & \ldots & a_{m1}\\a_{12} & a_{22} & \ldots &a_{m2}\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\a_{1n} & a_{2n} & \ldots & a_{mn}\end{pmatrix}$ порядка $n\times m$ называется матрицей, транспонированной¹⁶⁾ к $A$ .

Сложение и умножение на скаляр

Пусть $A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & \ldots &a_{2n}\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}\end{pmatrix}$ и $B=\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1n}\\a_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2n}\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\b_{m1} & b_{m2} & \ldots & b_{mn}\end{pmatrix}$ — матрицы размера $m\times n$ над кольцом $R$ .

Определение 13. Матрица $\end{pmatrix}$ размера $m\times n$ с элементами $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$ называется суммой матриц $A$ и $B$ .

Определение 14. Умножение матрицы $A$ на скаляр $r\in R$ определяется правилом: $rA=(ra_{ij})$ .

Предложение 1. Относительно введенных операций сложения и умножения на скаляр множество всех матриц размера $m\times n$ над полем $F$ образует векторное пространство размерности $mn$ .

Векторное пространство матриц порядка $n$ над полем $F$ обозначается $\textrm{Mat}_n(F)$ .

Умножение матриц

Пусть $A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & \ldots &a_{2n}\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}\end{pmatrix}$ и $B=\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1q}\\a_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2q}\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\b_{p1} & b_{p2} & \ldots & b_{pq}\end{pmatrix}$ — матрицы над кольцом $R$ размера $m\times n$ и $p\times q$ соответственно.

Определение 15. Произведение матриц $A$ и $B$ определено, если $n=p$ . Результатом умножения является матрица $C=AB$ размера $m\times q$ с элементами $c_{ij}=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}$ .

Пример 2. Произведением матрицы $\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & \ldots &a_{2n}\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}\end{pmatrix}$ размера $m\times n$ и столбца $\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\ldots\\x_n\end{pmatrix}$ является столбец $\begin{pmatrix}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n\\\ldots\\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n\end{pmatrix}$ .

Предложение 2. Умножение матриц ассоциативно, то есть $(AB)C=A(BC)$ , если определены $AB$ и $BC$ .

Пример 3. Умножение матриц не коммутативно: $\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2\\ 0 & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & -1\end{pmatrix}$ , что не равно $\begin{pmatrix}1 & 2\\ 0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 3\\ 0 & -1\end{pmatrix}$ .

Предложение 3. Если умножение соответствующих матриц определено, то

$(A+B)C=AC+BC$ ;
$C(A+B)=CA+CB$ .

Предложение 4. Относительно матричного умножения пространство $\textrm{Mat}_n(F)$ матриц над полем $F$ является ассоциативной алгеброй над $F$ .

См. также

Литература

линейная алгебра, верхнетреугольная матрица, диагональная матрица, единичная матрица, кососимметричная матрица, матрица, нижнетреугольная матрица, симметричная матрица, скалярная матрица, след матрицы, сложение матриц, столбец, строка, умножение матриц

¹⁾

matrix

²⁾

row

³⁾

column

⁴⁾

row vector

⁵⁾

column vector

⁶⁾

square matrix

⁷⁾

main diagonal

⁸⁾

trace of matrix

⁹⁾

diagonal

¹⁰⁾

upper triangular matrix

¹¹⁾

lower triangular matrix

¹²⁾

scalar matrix

¹³⁾

identity matrix

¹⁴⁾

symmetric

¹⁵⁾

skewsymmetric

¹⁶⁾

transposed matrix

glossary/matrix.txt · Последние изменения: 15.02.2014 12:11:45 — Ладилова Анна

Наверх