Векторное пространство

Определение

Определение 1. Пусть $F$ — некоторое поле. Абелева группа1) $V$ называется векторным пространством2), или линейным пространством3) над полем $F$, если задано отображение $\mu:F\times V\rightarrow V:(\alpha,v)\mapsto\alpha v$, удовлетворяющее условиям:

  1. $\alpha(v_1+v_2)=\alpha v_1+\alpha v_2$ для всех $\alpha\in F,v_1\in V,v_2\in V$;
  2. $(\alpha_1+\alpha_2)v=\alpha_1v+\alpha_2v$ для всех $\alpha_1,\alpha_2\in F,v\in V$;
  3. $\alpha_1(\alpha_2v)=(\alpha_1\alpha_2)v$ для всех $\alpha_1,\alpha_2\in F,v\in V$;
  4. $1\cdot v=v$ для всех $v\in V$.

При этом элементы пространства $ V $ называются векторами4), а операция $\mu$ — умножением на скаляр.

Замечание 1. Данное определение можно переформулировать в терминах модулей: левый унитарный модуль $ V $ над полем $ F $ называется векторным пространством. Кроме того, в некоммутативной алгебре под векторным пространством понимают более широкий класс модулей, сохраняющий все основные свойства векторных пространств в их классическом понимании: левый унитарный модуль $ V $ над телом $ D $ называется векторным пространством.

Пример 1. Нульмерное векторное пространство $V$ состоит из одного элемента: $V=\{0\}$.

Пример 2. $n$-мерное координатное пространство над полем $F$ представляет собой декартово произведение $n$ множителей $F^n=F\times F\times\ldots\times F$. Элементы $F^n$ записываются в виде векторов-строк $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$5). Операции сложения и умножения на скаляр определены покоординатно:

$(a_1,a_2,\ldots,a_n)+(b_1,b_2,\ldots,b_n)=(a_1+b_1,a_2+b_2,\ldots,a_n+b_n)$,
$\alpha(a_1,a_2,\ldots,a_n)=(\alpha a_1,\alpha a_2,\ldots,\alpha a_n)$.

Нулевым элементом является вектор $(0,0,\ldots,0)$, противоположным для $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ служит вектор-строка $(-a_1,-a_2,\ldots,-a_n)$.

Пример 3. Множество $\textrm{L}([a,b])$ функций, определенных на отрезке $[a,b]\subset\mathbb{R}$ и интегрируемых на нем по Лебегу, с поточечной операцией сложения $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$, $(yf)(x)=y(f(x))$ является векторным пространством над полем действительных чисел.

Пример 4. Пусть $V=\mathbb{R}_+=\{a\in\mathbb{R}|a>0\}$. Введем на $V$ операцию $\oplus$ по правилу $a\oplus b=ab$ и операцию умножения на скаляр $\alpha\in\mathbb{R}$ по правилу $\alpha\odot a=a^\alpha$. Нетрудно проверить, что $V$ с указанными операциями является векторным пространством над полем $\mathbb{R}$. Нейтральным элементом служит $1\in\mathbb{R}_+$.

Подпространство векторного пространства

Определение 2. Непустое множество векторов $ W $ векторного пространства $ V $ называется линейным подпространством6), если:

  1. $w_1+w_2\in W$ для любых векторов $w_1,w_2\in W$;
  2. $\alpha w\in W$ для всех $\alpha\in F, w\in W$.

Определение 3. Коразмерностью7) линейного подпространства $ W $ называется разность $\textrm{codim}_FW=\textrm{dim}_FV-\textrm{dim}_FW$.

Определение 4. Подпространство, коразмерность которого равна 1, называется гиперплоскостью8).

Факторпространство

Пусть $ W $ — подпространство векторного пространства $ V $. Тогда $ W $ является подгруппой9) абелевой группы $ V $, поэтому определена факторгруппа $V/W$.

Предложение 1. Отображение $\mu\colon F\times V/W\rightarrow V/W$, определенное правилом:

$\alpha\overline{v}=\overline{\alpha v}$ для всех $\overline{v}\in V/W$ и $\alpha\in F$

корректно, то есть не зависит от выбора представителя смежного класса. Кроме того, данное отображение удовлетворяет всем свойствам из определения 1.

Определение 5. Факторпространством10) векторного пространства $ V $ по подпространству $ W $ называется факторгруппа $\overline{V}=V/W$ с отображением $\mu\colon F\times V/W\rightarrow V/W$, указанным в предложении 1.

См. также

Литература

1) записываемая, как правило, аддитивно
2) vector space
3) linear space
4) vector
5) или столбцов
6) linear subspace
7) codimension
8) hyperplane
10) factor space
glossary/space/linear.txt · Последние изменения: 15.02.2014 16:11:32 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0