Содержание

Векторное пространство

Векторное пространство

Определение

Определение 1. Пусть $F$ — некоторое поле. Абелева группа¹⁾ $V$ называется векторным пространством²⁾, или линейным пространством³⁾ над полем $F$ , если задано отображение $\mu:F\times V\rightarrow V:(\alpha,v)\mapsto\alpha v$ , удовлетворяющее условиям:

$\alpha(v_1+v_2)=\alpha v_1+\alpha v_2$ для всех $\alpha\in F,v_1\in V,v_2\in V$ ;
$(\alpha_1+\alpha_2)v=\alpha_1v+\alpha_2v$ для всех $\alpha_1,\alpha_2\in F,v\in V$ ;
$\alpha_1(\alpha_2v)=(\alpha_1\alpha_2)v$ для всех $\alpha_1,\alpha_2\in F,v\in V$ ;
$1\cdot v=v$ для всех $v\in V$ .

При этом элементы пространства $V$ называются векторами⁴⁾, а операция $\mu$ — умножением на скаляр.

Замечание 1. Данное определение можно переформулировать в терминах модулей: левый унитарный модуль $V$ над полем $F$ называется векторным пространством. Кроме того, в некоммутативной алгебре под векторным пространством понимают более широкий класс модулей, сохраняющий все основные свойства векторных пространств в их классическом понимании: левый унитарный модуль $V$ над телом $D$ называется векторным пространством.

Пример 1. Нульмерное векторное пространство $V$ состоит из одного элемента: $V=\{0\}$ .

Пример 2. $n$ -мерное координатное пространство над полем $F$ представляет собой декартово произведение $n$ множителей $F^n=F\times F\times\ldots\times F$ . Элементы $F^n$ записываются в виде векторов-строк $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ ⁵⁾. Операции сложения и умножения на скаляр определены покоординатно:

$(a_1,a_2,\ldots,a_n)+(b_1,b_2,\ldots,b_n)=(a_1+b_1,a_2+b_2,\ldots,a_n+b_n)$ ,
$\alpha(a_1,a_2,\ldots,a_n)=(\alpha a_1,\alpha a_2,\ldots,\alpha a_n)$ .

Нулевым элементом является вектор $(0,0,\ldots,0)$ , противоположным для $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ служит вектор-строка $(-a_1,-a_2,\ldots,-a_n)$ .

Пример 3. Множество $\textrm{L}([a,b])$ функций, определенных на отрезке $[a,b]\subset\mathbb{R}$ и интегрируемых на нем по Лебегу, с поточечной операцией сложения $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ , $(yf)(x)=y(f(x))$ является векторным пространством над полем действительных чисел.

Пример 4. Пусть $V=\mathbb{R}_+=\{a\in\mathbb{R}|a>0\}$ . Введем на $V$ операцию $\oplus$ по правилу $a\oplus b=ab$ и операцию умножения на скаляр $\alpha\in\mathbb{R}$ по правилу $\alpha\odot a=a^\alpha$ . Нетрудно проверить, что $V$ с указанными операциями является векторным пространством над полем $\mathbb{R}$ . Нейтральным элементом служит $1\in\mathbb{R}_+$ .

Подпространство векторного пространства

Определение 2. Непустое множество векторов $W$ векторного пространства $V$ называется линейным подпространством⁶⁾, если:

$w_1+w_2\in W$ для любых векторов $w_1,w_2\in W$ ;
$\alpha w\in W$ для всех $\alpha\in F, w\in W$ .

Определение 3. Коразмерностью⁷⁾ линейного подпространства $W$ называется разность $\textrm{codim}_FW=\textrm{dim}_FV-\textrm{dim}_FW$ .

Определение 4. Подпространство, коразмерность которого равна 1, называется гиперплоскостью⁸⁾.

Факторпространство

Пусть $W$ — подпространство векторного пространства $V$ . Тогда $W$ является подгруппой⁹⁾ абелевой группы $V$ , поэтому определена факторгруппа $V/W$ .

Предложение 1. Отображение $\mu\colon F\times V/W\rightarrow V/W$ , определенное правилом:

$\alpha\overline{v}=\overline{\alpha v}$ для всех $\overline{v}\in V/W$ и $\alpha\in F$

корректно, то есть не зависит от выбора представителя смежного класса. Кроме того, данное отображение удовлетворяет всем свойствам из определения 1.

Определение 5. Факторпространством¹⁰⁾ векторного пространства $V$ по подпространству $W$ называется факторгруппа $\overline{V}=V/W$ с отображением $\mu\colon F\times V/W\rightarrow V/W$ , указанным в предложении 1.

См. также

Литература

линейная алгебра, вектор, векторное пространство, гиперплоскость, коразмерность векторного пространства, линейное пространство, подпространство векторного пространства, унитарный модуль, факторпространство

¹⁾

записываемая, как правило, аддитивно

²⁾

vector space

³⁾

linear space

⁴⁾

vector

⁵⁾

или столбцов

⁶⁾

linear subspace

⁷⁾

codimension

⁸⁾

hyperplane

⁹⁾

нормальной

¹⁰⁾

factor space

glossary/space/linear.txt · Последние изменения: 15.02.2014 12:11:32 — Ладилова Анна

Наверх