Содержание
Мощность множества
проверено
Равномощные множества
Определение 1. Будем говорить, что множество равномощно1) множеству
, если существует биективное отображение
.
Предложение 1. Отношение равномощности множеств является отношением эквивалентности.
Пример 1. Сопоставим каждому натуральному числу число
, что определяет взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел
и множеством четных натуральных чисел. То есть множество
равномощно своему подмножеству четных натуральных чисел.
Определение 2. Класс эквивалентности множества называется мощностью2)
и обозначается через
или
.
Пример 2. Мощностью любого конечного множества можно считать число его элементов.
Определение 3. Будем говорить, что мощность множества меньше либо равна мощности множества
, и писать
, если существует инъективное отображение
.
Теорема (Кантора-Бернштейна). Если для множеств и
имеем
и
, то
.
Определение 4. Если множество равномощно множеству натуральных чисел, то
называется счетным3).
Пример 2. Множество алгебраических чисел счетно.
Литература
- Бурбаки Н. «Теория множеств», Либроком, 2010.
- Гордон Е.И., Полотовский Г.М. «Мощность бесконечных множеств», Издательство ННГУ, 1998.