Линейная зависимость

Пусть $ M $(левый) модуль над ассоциативным кольцом $ R $. Частным случаем такого модуля является векторное пространство $M=V$ над полем $R=F$.

Линейные комбинации. Линейная оболочка

Пусть $ S $ — некоторое подмножество элементов из $ M $.

Определение 1. Линейной комбинацией1) элементов из $ S $ называют сумму $\sum_{s\in S}\alpha_ss$, где лишь конечное число элементов $\alpha_s\in R$ отлично от нуля. Элементы $\alpha_s$ называются коэффициентами2) линейной комбинации.

Пример 1. Кольцо многочленов $F[T]$ над полем $ F $ является, в частности, векторным пространством. Пусть $S=\{1,T,T^2, T^3,\ldots,T^n,\ldots\}$. Линейная комбинация этих векторов $1+2T+3T^2$ — это многочлен степени 2.

Предложение 1. Множество всех линейных комбинаций элементов из $ S $ является подмодулем в модуле $ M $.

Определение 2. Пусть $ N $ — множество всех линейных комбинаций элементов из $ S $, тогда $ N $ называется подмодулем, порожденным $ S $, или $ R $-линейной оболочкой3) множества $ S $, и обозначается $\langle S\rangle_R$. При этом $ S $ называют множеством образующих4) для $ N $.

В частном случае векторного пространства $ V $ над полем $ F $ данное определение можно переформулировать следующим образом:

Определение 2'. Линейной оболочкой5) подмножества $ S $ линейного пространства $ V $ называется множество $\langle s|s\in S\rangle_F$ всех линейных комбинаций векторов из $ S $. Говорят также, что оболочка $\langle s|s\in S\rangle_F$ порождена векторами $s\in S$, или что оболочка $\langle s|s\in S\rangle_F$ натянута на вектора $s\in S$.

Пример 2. В кольце многочленов $F[T]$ над полем $ F $ выберем множество $S=\{1,T,T^2, T^3,\ldots,T^n,\ldots\}$. Линейную оболочку $ S $ составляют всевозможные многочлены $a_0+a_1T+\ldots+a_nT^n$, то есть $F[T]=\langle 1,T,T^2, T^3,\ldots,T^n,\ldots\rangle_F$.

Пример 3. Кольцо многочленов от двух переменных $F[T_1,T_2]$ можно рассматривать как левый модуль над кольцом $F[T_2]$. Пусть $S=\{1,T_1,T_1^2, T_1^3,\ldots,T_1^n,\ldots\}$, тогда $F[T_2]$-линейная оболочка множества $ S $ состоит из элементов $f_0+f_1T_1+\ldots+a_fT_1^n$, где $f_i\in F[T_2]$. Таким образом, $\langle s|s\in S\rangle_{F[T_2]}=F[T_1,T_2]$.

Линейная зависимость

Определение 3. Набор элементов $ S $ модуля $ M $ называется линейно независимым6) над $ R $, если из равенства нулю линейной комбинации $\underset{s\in S}{\sum}\alpha_ss$ следует, что $\alpha_s=0$ для всех $s\in S$. Если же существует соотношение $\sum_{s\in S}\alpha_ss=0$, в котором не все $\alpha_s$ равны нулю, элементы из $ S $ называют линейно зависимыми7).

Если в качестве модуля взять векторное пространство $ V $ и рассматривать конечные наборы $S=\langle v_1,v_2,\ldots,v_n\rangle$, то определение линейной зависимости может быть переформулировано следующим образом:

Определение 3'. Система векторов $v_1,v_2,\ldots,v_n$ пространства $ V $ называется линейно зависимой8), если найдутся числа $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$, не равные нулю одновременно и такие, что $\alpha_1v_1+\ldots+\alpha_nv_n=0$. В противном случае векторы $v_1,v_2,\ldots,v_n$ называются линейно независимыми.

Пример 4. Если множество $S\subseteq M$ содержит нулевой элемент, то оно линейно зависимо.

Предложение 2. Пусть $ V $ — векторное пространство над полем $ F $. Имеют место следующие утверждения:

  1. система векторов $v_1,v_2,\ldots,v_n$ с линейно зависимой подсистемой линейно зависима,
  2. любая часть линейно независимой системы векторов $v_1,v_2,\ldots,v_n$ линейно независима,
  3. среди линейно зависимых векторов $v_1,v_2,\ldots,v_n$ хотя бы один является линейной комбинацией остальных,
  4. если один из векторов $v_1,v_2,\ldots,v_n$ выражается через остальные, то векторы $v_1,v_2,\ldots,v_n$ линейно зависимы,
  5. если векторы $v_1,v_2,\ldots,v_n$ линейно независимы, а $v_1,v_2,\ldots,v_n,v$ — линейно зависимы, то $ v $ — линейная комбинация векторов $v_1,v_2,\ldots,v_n$,
  6. если векторы $v_1,v_2,\ldots,v_n$ линейно независимы и вектор $ v $ нельзя через них выразить, то система $v_1,v_2,\ldots,v_n,v$ линейно независима.

См. также

Литература

1) linear combination
2) coefficient
3) , 5) linear envelope
4) generator
6) linearly independent
7) linearly dependent
8) здесь фразу «над $ F $» обычно опускают
glossary/dependent/linear.txt · Последние изменения: 15.02.2014 15:55:26 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0