Содержание

Линейная зависимость

Линейная зависимость

Пусть $M$ — (левый) модуль над ассоциативным кольцом $R$ . Частным случаем такого модуля является векторное пространство $M=V$ над полем $R=F$ .

Линейные комбинации. Линейная оболочка

Пусть $S$ — некоторое подмножество элементов из $M$ .

Определение 1. Линейной комбинацией¹⁾ элементов из $S$ называют сумму $\sum_{s\in S}\alpha_ss$ , где лишь конечное число элементов $\alpha_s\in R$ отлично от нуля. Элементы $\alpha_s$ называются коэффициентами²⁾ линейной комбинации.

Пример 1. Кольцо многочленов $F[T]$ над полем $F$ является, в частности, векторным пространством. Пусть $S=\{1,T,T^2, T^3,\ldots,T^n,\ldots\}$ . Линейная комбинация этих векторов $1+2T+3T^2$ — это многочлен степени 2.

Предложение 1. Множество всех линейных комбинаций элементов из $S$ является подмодулем в модуле $M$ .

Определение 2. Пусть $N$ — множество всех линейных комбинаций элементов из $S$ , тогда $N$ называется подмодулем, порожденным $S$ , или $R$ -линейной оболочкой³⁾ множества $S$ , и обозначается $\langle S\rangle_R$ . При этом $S$ называют множеством образующих⁴⁾ для $N$ .

В частном случае векторного пространства $V$ над полем $F$ данное определение можно переформулировать следующим образом:

Определение 2'. Линейной оболочкой⁵⁾ подмножества $S$ линейного пространства $V$ называется множество $\langle s|s\in S\rangle_F$ всех линейных комбинаций векторов из $S$ . Говорят также, что оболочка $\langle s|s\in S\rangle_F$ порождена векторами $s\in S$ , или что оболочка $\langle s|s\in S\rangle_F$ натянута на вектора $s\in S$ .

Пример 2. В кольце многочленов $F[T]$ над полем $F$ выберем множество $S=\{1,T,T^2, T^3,\ldots,T^n,\ldots\}$ . Линейную оболочку $S$ составляют всевозможные многочлены $a_0+a_1T+\ldots+a_nT^n$ , то есть $F[T]=\langle 1,T,T^2, T^3,\ldots,T^n,\ldots\rangle_F$ .

Пример 3. Кольцо многочленов от двух переменных $F[T_1,T_2]$ можно рассматривать как левый модуль над кольцом $F[T_2]$ . Пусть $S=\{1,T_1,T_1^2, T_1^3,\ldots,T_1^n,\ldots\}$ , тогда $F[T_2]$ -линейная оболочка множества $S$ состоит из элементов $f_0+f_1T_1+\ldots+a_fT_1^n$ , где $f_i\in F[T_2]$ . Таким образом, $\langle s|s\in S\rangle_{F[T_2]}=F[T_1,T_2]$ .

Линейная зависимость

Определение 3. Набор элементов $S$ модуля $M$ называется линейно независимым⁶⁾ над $R$ , если из равенства нулю линейной комбинации $\underset{s\in S}{\sum}\alpha_ss$ следует, что $\alpha_s=0$ для всех $s\in S$ . Если же существует соотношение $\sum_{s\in S}\alpha_ss=0$ , в котором не все $\alpha_s$ равны нулю, элементы из $S$ называют линейно зависимыми⁷⁾.

Если в качестве модуля взять векторное пространство $V$ и рассматривать конечные наборы $S=\langle v_1,v_2,\ldots,v_n\rangle$ , то определение линейной зависимости может быть переформулировано следующим образом:

Определение 3'. Система векторов $v_1,v_2,\ldots,v_n$ пространства $V$ называется линейно зависимой⁸⁾, если найдутся числа $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$ , не равные нулю одновременно и такие, что $\alpha_1v_1+\ldots+\alpha_nv_n=0$ . В противном случае векторы $v_1,v_2,\ldots,v_n$ называются линейно независимыми.

Пример 4. Если множество $S\subseteq M$ содержит нулевой элемент, то оно линейно зависимо.

Предложение 2. Пусть $V$ — векторное пространство над полем $F$ . Имеют место следующие утверждения:

система векторов $v_1,v_2,\ldots,v_n$ с линейно зависимой подсистемой линейно зависима,
любая часть линейно независимой системы векторов $v_1,v_2,\ldots,v_n$ линейно независима,
среди линейно зависимых векторов $v_1,v_2,\ldots,v_n$ хотя бы один является линейной комбинацией остальных,
если один из векторов $v_1,v_2,\ldots,v_n$ выражается через остальные, то векторы $v_1,v_2,\ldots,v_n$ линейно зависимы,
если векторы $v_1,v_2,\ldots,v_n$ линейно независимы, а $v_1,v_2,\ldots,v_n,v$ — линейно зависимы, то $v$ — линейная комбинация векторов $v_1,v_2,\ldots,v_n$ ,
если векторы $v_1,v_2,\ldots,v_n$ линейно независимы и вектор $v$ нельзя через них выразить, то система $v_1,v_2,\ldots,v_n,v$ линейно независима.

См. также

Литература

линейная алгебра, векторное пространство, коэффициент линейной комбинации, линейная зависимость, линейная комбинация, линейная независимость, линейная оболочка, левый модуль

¹⁾

linear combination

²⁾

coefficient

³⁾ , ⁵⁾

linear envelope

⁴⁾

generator

⁶⁾

linearly independent

⁷⁾

linearly dependent

⁸⁾

здесь фразу «над $F$ » обычно опускают

glossary/dependent/linear.txt · Последние изменения: 15.02.2014 11:55:26 — Ладилова Анна

Наверх