Содержание

Модуль над ассоциативным кольцом

Модуль над ассоциативным кольцом

Левый модуль

Определение 1. Пара $(M,\mu)$ , состоящая из аддитивной абелевой группы $M$ и отображения $\mu\colon R\times M\rightarrow M\colon(r,m)\mapsto r\cdot m$ , называется левым модулем над кольцом $R$ , или левым $R$ -модулем¹⁾, если выполнены условия:

$r\cdot(m_1+m_2)=r\cdot m_1+r\cdot m_2$ для любых $r\in R$ , $m_1,m_2\in M$ ;
$(r_1+r_2)\cdot m=r_1\cdot m+r_2\cdot m$ для любых $r_1,r_2\in R$ , $m\in M$ ;
$r_1\cdot(r_2\cdot m)=(r_1r_2)\cdot m$ для любых $r_1,r_2\in R$ , $m\in M$ .

Если кольцо $R$ имеет единицу $1$ , и выполнено условие $1\cdot m=m$ для $\forall m\in M$ , то модуль называется унитарным²⁾, или унитальным³⁾.

Пример 1. Пусть $R$ — ассоциативное кольцо и $\rho$ — левый идеал в $R$ . Мы наделяем $\rho$ естественной структурой $R$ -модуля, определяя действие $R$ на $\rho$ как умножение элементов из $\rho$ на элементы из $R$ .

Определение 2. Подмодулем⁴⁾ левого $R$ -модуля $M$ называется подгруппа $N$ абелевой группы $M$ , замкнутая относительно действия кольца: $R\cdot N\subseteq N$ .

Определение 3. Пусть $M$ — левый модуль над $R$ и $N$ — подмодуль модуля $M$ . Рассмотрим факторгруппу $M/N$ абелевой группы $M$ по подгруппе $N$ ; ее элементами являются множества $m+N$ , где $m\in M$ . Мы наделяем $M/N$ естественной структурой $R$ -модуля, полагая $r\cdot(m+N)=r\cdot m+N$ для любых $m+N\in M/N$ и $r\in R$ . Полученный модуль называется фактормодулем⁵⁾ модуля $M$ по подмодулю $N$ .

Пример 2. Пусть $R$ — ассоциативное кольцо и $\rho$ — левый идеал в $R$ . Пусть, кроме того, $R/\rho$ — факторгруппа $R$ по $\rho$ , где $R$ и $\rho$ рассматриваются как аддитивные группы; ее элементами являются множества $x+\rho$ , где $x\in R$ . Мы наделяем $R/\rho$ естественной структурой $R$ -модуля, полагая $r(x+\rho)=rx+\rho$ для любых $x+\rho\in R/\rho$ и $r\in R$ .

Правый модуль

Определение 1'. Пара $(M,\mu)$ , состоящая из аддитивной абелевой группы $M$ и отображения $\mu:M\times R\rightarrow M:(m,r)\mapsto m\cdot r$ , называется правым модулем над кольцом $R$ , или правым $R$ -модулем⁶⁾, если выполнены условия:

$(m_1+m_2)\cdot r=m_1\cdot r+m_2\cdot r$ для любых $r\in R$ , $m_1,m_2\in M$ ;
$m\cdot(r_1+r_2)=m\cdot r_1+m\cdot r_2$ для любых $r_1,r_2\in R$ , $m\in M$ ;
$m\cdot(r_1r_2)=(m\cdot r_1)\cdot r_2$ для любых $r_1,r_2\in R$ , $m\in M$ .

Пример 1'. Пусть $R$ — произвольное кольцо и $\rho$ — правый идеал в $R$ . Мы наделяем $\rho$ естественной структурой $R$ -модуля, определяя действие $R$ на $\rho$ как умножение элементов из $\rho$ на элементы из $R$ .

Определение 2'. Подмодулем⁷⁾ правого $R$ -модуля $M$ называется подгруппа $N$ абелевой группы $M$ , замкнутая относительно действия кольца: $N\cdot R\subseteq N$ .

Определение 3'. Пусть $M$ — правый модуль над $R$ и $N$ — подмодуль модуля $M$ . Рассмотрим факторгруппу $M/N$ абелевой группы $M$ по подгруппе $N$ ; ее элементами являются множества $m+N$ , где $m\in M$ . Мы наделяем $M/N$ естественной структурой $R$ -модуля, полагая $(m+N)\cdot r=m\cdot r+N$ для любых $m+N\in M/N$ и $r\in R$ . Полученный модуль называется фактормодулем⁸⁾ модуля $M$ по подмодулю $N$ .

Пример 2'. Пусть $R$ — ассоциативное кольцо и $\rho$ — правый идеал в $R$ . Пусть, кроме того, $R/\rho$ — факторгруппа $R$ по $\rho$ , где $R$ и $\rho$ рассмитраваются как аддитивные группы; ее элементами являются множества $x+\rho$ , где $x\in R$ . Мы наделяем $R/\rho$ естественной структурой $R$ -модуля, полагая $(x+\rho)r=xr+\rho$ для любых $x+\rho\in R/\rho$ и $r\in R$ .

Замечания

Замечание 1. Обозначим через $(R^o,\ast)$ кольцо, полученное из $(R,\cdot)$ заменой операции умножения: положим для $x,y\in R^o$ их произведение равным $x\ast y=y\cdot x$ . Кольцо $R^o$ называется кольцом, противоположным⁹⁾ к $R$ . Тогда правый модуль над ассоциативным кольцом $R$ — это левый модуль над противоположным кольцом $R^o$ . Вообще все понятия, сформулированные для правых модулей, аналогичны соответствующим понятиям для левых модулей и получаются лишь заменой кольца на противоположное. Запись элементов кольца справа при действии на правый модуль только лишь удобная условность.

Замечание 2. Если кольцо $R$ коммутативно, то $R^o=R$ , и разницы между левыми и правыми модулями нет.

Бимодуль

Определение 5. Пусть на абелевой группе $M$ заданы структуры левого и правого $R$ -модуля, причем

$r_1\cdot(m\cdot r_2)=(r_1\cdot m)\cdot r_2$ для всех $r_1,r_2\in R$ , $m\in M$ .

Тогда $M$ называется бимодулем над кольцом $R$ .

См. также

Литература

Херстейн И. «Некоммутативные кольца», Мир, 1972.

абстрактная алгебра, абелева группа, ассоциативное кольцо, бимодуль, левый модуль, модуль, подгруппа, подмодуль, правый модуль, противоположное кольцо, унитарный модуль, факторгруппа, фактормодуль, централизатор кольца

¹⁾

left module

²⁾

unitary module

³⁾

unital module

⁴⁾ , ⁷⁾

submodule

⁵⁾ , ⁸⁾

factor module, quotient module

⁶⁾

right module

⁹⁾

opposite ring

glossary/module.txt · Последние изменения: 10.10.2011 10:49:41 — Ладилова Анна

Наверх