Модуль над ассоциативным кольцом

Пусть задано ассоциативное кольцо $R$.

Левый модуль

Определение 1. Пара $(M,\mu)$, состоящая из аддитивной абелевой группы $M$ и отображения $\mu\colon R\times M\rightarrow M\colon(r,m)\mapsto r\cdot m$, называется левым модулем над кольцом $R$, или левым $R$-модулем1), если выполнены условия:

  1. $r\cdot(m_1+m_2)=r\cdot m_1+r\cdot m_2$ для любых $r\in R$, $m_1,m_2\in M$;
  2. $(r_1+r_2)\cdot m=r_1\cdot m+r_2\cdot m$ для любых $r_1,r_2\in R$, $m\in M$;
  3. $r_1\cdot(r_2\cdot m)=(r_1r_2)\cdot m$ для любых $r_1,r_2\in R$, $m\in M$.

Если кольцо $R$ имеет единицу $1$, и выполнено условие $1\cdot m=m$ для $\forall m\in M$, то модуль называется унитарным2), или унитальным3).

Пример 1. Пусть $R$ — ассоциативное кольцо и $\rho$ — левый идеал в $ R $. Мы наделяем $\rho$ естественной структурой $ R $-модуля, определяя действие $ R $ на $\rho$ как умножение элементов из $\rho$ на элементы из $ R $.

Определение 2. Подмодулем4) левого $ R $-модуля $ M $ называется подгруппа $ N $ абелевой группы $ M $, замкнутая относительно действия кольца: $R\cdot N\subseteq N$.

Определение 3. Пусть $ M $ — левый модуль над $ R $ и $ N $ — подмодуль модуля $ M $. Рассмотрим факторгруппу $M/N$ абелевой группы $ M $ по подгруппе $ N $; ее элементами являются множества $m+N$, где $m\in M$. Мы наделяем $M/N$ естественной структурой $ R $-модуля, полагая $r\cdot(m+N)=r\cdot m+N$ для любых $m+N\in M/N$ и $r\in R$. Полученный модуль называется фактормодулем5) модуля $ M $ по подмодулю $ N $.

Пример 2. Пусть $ R $ — ассоциативное кольцо и $\rho$ — левый идеал в $ R $. Пусть, кроме того, $R/\rho$ — факторгруппа $ R $ по $\rho$, где $ R $ и $\rho$ рассматриваются как аддитивные группы; ее элементами являются множества $x+\rho$, где $x\in R$. Мы наделяем $R/\rho$ естественной структурой $ R $-модуля, полагая $r(x+\rho)=rx+\rho$ для любых $x+\rho\in R/\rho$ и $r\in R$.

Правый модуль

Определение 1'. Пара $(M,\mu)$, состоящая из аддитивной абелевой группы $M$ и отображения $\mu:M\times R\rightarrow M:(m,r)\mapsto m\cdot r$, называется правым модулем над кольцом $R$, или правым $R$-модулем6), если выполнены условия:

  1. $(m_1+m_2)\cdot r=m_1\cdot r+m_2\cdot r$ для любых $r\in R$, $m_1,m_2\in M$;
  2. $m\cdot(r_1+r_2)=m\cdot r_1+m\cdot r_2$ для любых $r_1,r_2\in R$, $m\in M$;
  3. $m\cdot(r_1r_2)=(m\cdot r_1)\cdot r_2$ для любых $r_1,r_2\in R$, $m\in M$.

Пример 1'. Пусть $R$ — произвольное кольцо и $\rho$ — правый идеал в $R$. Мы наделяем $\rho$ естественной структурой $R$-модуля, определяя действие $R$ на $\rho$ как умножение элементов из $\rho$ на элементы из $R$.

Определение 2'. Подмодулем7) правого $ R $-модуля $M$ называется подгруппа $N$ абелевой группы $M$, замкнутая относительно действия кольца: $N\cdot R\subseteq N$.

Определение 3'. Пусть $M$ — правый модуль над $R$ и $N$ — подмодуль модуля $M$. Рассмотрим факторгруппу $M/N$ абелевой группы $M$ по подгруппе $N$; ее элементами являются множества $m+N$, где $m\in M$. Мы наделяем $M/N$ естественной структурой $ R $-модуля, полагая $(m+N)\cdot r=m\cdot r+N$ для любых $m+N\in M/N$ и $r\in R$. Полученный модуль называется фактормодулем8) модуля $M$ по подмодулю $N$.

Пример 2'. Пусть $R$ — ассоциативное кольцо и $\rho$ — правый идеал в $R$. Пусть, кроме того, $R/\rho$ — факторгруппа $R$ по $\rho$, где $R$ и $\rho$ рассмитраваются как аддитивные группы; ее элементами являются множества $x+\rho$, где $x\in R$. Мы наделяем $R/\rho$ естественной структурой $R$-модуля, полагая $(x+\rho)r=xr+\rho$ для любых $x+\rho\in R/\rho$ и $r\in R$.

Замечания

Замечание 1. Обозначим через $(R^o,\ast)$ кольцо, полученное из $(R,\cdot)$ заменой операции умножения: положим для $x,y\in R^o$ их произведение равным $x\ast y=y\cdot x$. Кольцо $R^o$ называется кольцом, противоположным9) к $R$. Тогда правый модуль над ассоциативным кольцом $R$ — это левый модуль над противоположным кольцом $R^o$. Вообще все понятия, сформулированные для правых модулей, аналогичны соответствующим понятиям для левых модулей и получаются лишь заменой кольца на противоположное. Запись элементов кольца справа при действии на правый модуль только лишь удобная условность.

Замечание 2. Если кольцо $R$ коммутативно, то $R^o=R$, и разницы между левыми и правыми модулями нет.

Бимодуль

Определение 5. Пусть на абелевой группе $M$ заданы структуры левого и правого $R$-модуля, причем

$r_1\cdot(m\cdot r_2)=(r_1\cdot m)\cdot r_2$ для всех $r_1,r_2\in R$, $m\in M$.

Тогда $M$ называется бимодулем над кольцом $R$.

См. также

Литература

  • Херстейн И. «Некоммутативные кольца», Мир, 1972.
1) left module
2) unitary module
3) unital module
4) , 7) submodule
5) , 8) factor module, quotient module
6) right module
9) opposite ring
glossary/module.txt · Последние изменения: 10.10.2011 14:49:41 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0