Содержание
Линейное отображение векторных пространств
проверено. неплохо было бы написать про логарифмы
Определение
Определение 1. Пусть — векторные пространства над полем
. Отображение
называется линейным1), если
для всех
;
для всех
,
.
Пример 1. Нулевое линейное отображение , заданное правилом
для всех
.
Пример 2. Тождественное линейное отображение задается формулой
для всех
.
Пример 3. Отображение векторного пространства
из примера 4 в одномерное вещественное пространство
, является линейным отображением векторных пространств.
Определение 2. Линейное отображение называется изоморфизмом векторных пространств2), если
биективно.
Предложение 1. Два конечномерных векторных пространства и
над полем
изоморфны тогда и только тогда, когда у них одинаковые размерности.
Частные случаи
Определение 3. Линейное отображение называется линейным оператором3) на
.
Замечание 1. В категорном смысле линейный оператор — это эндоморфизм векторного пространства . Соответственно, множество всех линейных операторов на
обозначается символом
.
Пример 4. Линейный оператор , определенный правилом:
для всех
и некоторого фиксированного
. Такой оператор называется гомотетией4).
Определение 4. Линейное отображение 5) называется линейной функцией6), или линейным функционалом7), или линейной формой8) на пространстве
.
Свойства линейного отображения
Определение 5. Ядром9) линейного отображения называется множество
.
Определение 6. Образом10) линейного отображения называется множество
.
Замечание 2. Как следует из определений, ,
, то есть ядро и образ являются подмножествами векторных пространств.
Предложение 2. Ядро и образ линейного отображения являются подпространствами векторных пространств
и
, соответственно.
Предложение 3. Пусть — конечномерное векторное пространство, и
— линейное отображение. Тогда
и
конечномерны и
.
Предложение 4. Пусть — конечномерное векторное пространство. Линейное отображение
инъективно тогда и только тогда, когда
.
Следствие 1. Пусть — конечномерное векторное пространство. Линейное отображение
сюръективно тогда и только тогда, когда
.
Предложение 5. Множество всех линейных отображений из векторного пространства в векторное пространство
является векторным пространством относительно операций сложения и умножения на скаляр, определенных правилами:
- для двух линейных отображений
и
пространства
в пространство
их сумма определена формулой:
для всех
;
- для линейного отображения
умножение на скаляр
определено формулой:
для всех
.
Замечание 3. Векторное пространство линейных отображений из в
обозначается через
.
См. также
Литература
