Линейное отображение векторных пространств

проверено. неплохо было бы написать про логарифмы

Определение

Определение 1. Пусть $V_1,V_2$векторные пространства над полем $ F $. Отображение $\varphi:V_1\rightarrow V_2$ называется линейным1), если

  1. $\varphi(v_1+v_2)=\varphi(v_1)+\varphi(v_2)$ для всех $v_1,v_2\in V_1$;
  2. $a\varphi(v)=\varphi(av)$ для всех $v\in V_1$, $a\in F$.

Пример 1. Нулевое линейное отображение $\varphi:V_1\rightarrow V_2$, заданное правилом $\varphi(v)=0$ для всех $v\in V_1$.

Пример 2. Тождественное линейное отображение $\textrm{id}_V:V\rightarrow V$ задается формулой $\textrm{id}_V(v)=v$ для всех $v\in V$.

Пример 3. Отображение $\ln\colon\mathbb{R}_+\rightarrow\mathbb{R}^1\colon a\mapsto \ln(a)$ векторного пространства $\mathbb{R}_+$ из примера 4 в одномерное вещественное пространство $\mathbb{R}^1$, является линейным отображением векторных пространств.

Определение 2. Линейное отображение $\varphi:V_1\rightarrow V_2$ называется изоморфизмом векторных пространств2), если $\varphi$ биективно.

Предложение 1. Два конечномерных векторных пространства $V_1$ и $V_2$ над полем $ F $ изоморфны тогда и только тогда, когда у них одинаковые размерности.

Частные случаи

Определение 3. Линейное отображение $\varphi:V\rightarrow V$ называется линейным оператором3) на $ V $.

Замечание 1. В категорном смысле линейный оператор — это эндоморфизм векторного пространства $ V $. Соответственно, множество всех линейных операторов на $ V $ обозначается символом $\textrm{End}(V)$.

Пример 4. Линейный оператор $\varphi:V\rightarrow V$, определенный правилом: $\varphi(v)=a v$ для всех $v\in V$ и некоторого фиксированного $a\in F$. Такой оператор называется гомотетией4).

Определение 4. Линейное отображение $\varphi\colon V\rightarrow F$5) называется линейной функцией6), или линейным функционалом7), или линейной формой8) на пространстве $ V $.

Свойства линейного отображения

Определение 5. Ядром9) линейного отображения $\varphi\colon V_1\rightarrow V_2$ называется множество $\ker\varphi=\{v\in V_1\vert\varphi(v)=0\}$.

Определение 6. Образом10) линейного отображения $\varphi\colon V_1\rightarrow V_2$ называется множество $\textrm{im}~\varphi=\{v\in V_2\vert\exists u\in V_1:\varphi(u)=v\}$.

Замечание 2. Как следует из определений, $\ker\varphi\subseteq V_1$, $\textrm{im}~\varphi\subseteq V_2$, то есть ядро и образ являются подмножествами векторных пространств.

Предложение 2. Ядро и образ линейного отображения $\varphi\colon V_1\rightarrow V_2$ являются подпространствами векторных пространств $V_1$ и $V_2$, соответственно.

Предложение 3. Пусть $V_1$ — конечномерное векторное пространство, и $\varphi:V_1\rightarrow V_2$ — линейное отображение. Тогда $\textrm{ker}\varphi$ и $\textrm{im}\varphi$ конечномерны и $\textrm{dim ker}\varphi+\textrm{dim im}\varphi=\textrm{dim}V_1$.

Предложение 4. Пусть $V_1$ — конечномерное векторное пространство. Линейное отображение $\varphi$ инъективно тогда и только тогда, когда $\textrm{ker}\varphi = 0$.

Следствие 1. Пусть $V_1$ — конечномерное векторное пространство. Линейное отображение $\varphi$ сюръективно тогда и только тогда, когда $\textrm{dim}V_2=\textrm{dim im}\varphi$.

Предложение 5. Множество всех линейных отображений из векторного пространства $V_1$ в векторное пространство $V_2$ является векторным пространством относительно операций сложения и умножения на скаляр, определенных правилами:

  1. для двух линейных отображений $\varphi_1$ и $\varphi_2$ пространства $V_1$ в пространство $V_2$ их сумма определена формулой: $(\varphi_1+\varphi_2)(v)=\varphi_1(v)+\varphi_2(v)$ для всех $v\in V_1$;
  2. для линейного отображения $\varphi\colon V_1\rightarrow V_2$ умножение на скаляр $\alpha$ определено формулой: $(\alpha\varphi)(v)=\alpha(\varphi(v))$ для всех $v\in V_1$.

Замечание 3. Векторное пространство линейных отображений из $V_1$ в $V_2$ обозначается через $\textrm{Hom}_F(V_1,V_2)$.

См. также

Литература

1) linear mapping
2) isomorphism of vector spaces
3) linear operator
4) homothety
5) $ F $ является векторным пространством, см.пример 3
6) linear function
7) linear functional
8) linear form
9) kernel
10) image
glossary/morphism/space/linear.txt · Последние изменения: 15.02.2014 16:12:23 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0