Содержание
Кольцо многочленов
Кольцо многочленов от одной переменной
Пусть — ассоциативное коммутативное кольцо с единицей. Рассмотрим множество бесконечных упорядоченных последовательностей
,
, в которых почти все элементы, кроме конечного числа, равны нулю. Две последовательности будем складывать по правилу:
.
Умножение зададим формулой
, где
.
Предложение 1. Построенное множество с указанными операциями сложения и умножения является ассоциативным коммутативным кольцом с единицей. Нулевым элементом является нулевая последовательность , противоположным элементом для
— элемент
, единичным элементом —
.
Последовательности при сложении и умножении ведут себя так же, как элементы
кольца
, поэтому вместо
будем писать
.
Обозначим
.
Тогда по правилу умножения последовательностей получим
… … …
.
И в новых обозначениях последовательность запишется в виде
.
Определение 1. Построенное кольцо будем обозначать через и называть кольцом многочленов от одной переменной1), а его элемент
— многочленом2).
Определение 2. Элементы многочлена
называются коэффициентами3) многочлена
.
Определение 3. Многочлен, все коэффициенты которого равны нулю, называется нулевым4).
Замечание 1. Кольцо также называют алгеброй многочленов от одной переменной, имея ввиду, что определено умножение многочлена
на скаляр
по формуле
,
а значит, является алгеброй над кольцом
.
Степень многочлена
Определение 4. Говорят, что степень многочлена5) от одной переменной равна
, если
. Коэффициент
при этом называют старшим коэффициентом6).Степень многочлена
обозначают через
. Степень нулевого многочлена полагают равной
.
Определение 5. Многочлены небольших степеней имеют специальные названия:
- многочлен степени 1 — линейный многочлен
- многочлен степени 2 — квадратичный многочлен
- многочлен степени 3 — кубичный многочлен
Предложение 2. Для любых двух многочленов справедливы неравенства:
;
;
Кольцо многочленов от n переменных
Пусть теперь — кольцо многочленов от одной переменной. Применяя вышеизложенную конструкцию, можно получить кольцо
, которое обозначается через
и называется кольцом многочленов от двух переменных. Элементы этого кольца имеют вид
. Аналогично получается кольцо многочленов от трех переменных
и т.д.
Определение 6. Вообще полученное таким способом кольцо называется кольцом многочленов от
переменных. Элементы этого кольца — многочлены от
переменных — имеют вид
.
Определение 7. Выражения вида называются мономами7). Степень монома
. Степенью многочлена
от
переменных называется максимальная из степенй его мономов.
Обобщение
Определение 8. Пусть — некоторое множество и
— аддитивный моноид целых чисел, не меньших нуля. Обозначим через
множество функций
, которые равны нулю для почти всех8) элементов из
. Пусть
и
, тогда через
будем обозначать функцию, которая принимает значение
в
и
в
. Если
и
— функции из
, то их произведение определяется формулой:
. Тогда
будет мультипликативным моноидом, единичным элементом которого служит нулевая функция.
Пусть
— коммутативное кольцо, тогда можно образовать моноидную алгебру
над
, которую мы будем называть кольцом (или, более точно, алгеброй) многочленов9) от
над
и обозначать через
. Элементы кольца многочленов называются многочленами10).
В частности, если — множество, состоящее из одного элемента
, то
состоит из элементов вида
, а
— кольцо многочленов от одной переменной. Если же
, то получается конструкция кольца многочленов от
переменных.
Пример к обобщению. Пусть множество состоит из одного элемента «ёжик» (
). Через
обозначим множество чисел, равное всевозможному количеству иголок на ёжике, а через
— набор всевозможных соответствий: на ёжике
иголок, которое будем обозначать как
. Если есть два таких соответствия:
и
, то под их произведением будем понимать соответствие
— на ёжике
иголок. Тогда
— мультипликативный моноид, единицей которого служит соответствие «ёжик голый», то есть без иголок. Для некоторого коммутативного кольца с единицей
cоответствующая моноидная алгебра, то есть наборы всевозможных формальных линейных комбинаций вида
— это кольцо многочленов
от переменной «ёжик». Этот пример должен лишний раз демонстрировать, что производная многочлена в смысле математического анализа (предел отношения приращения функции к приращению аргумента) не может быть определена.