Содержание
Кольцо многочленов
Кольцо многочленов от одной переменной
Пусть — ассоциативное коммутативное кольцо с единицей. Рассмотрим множество бесконечных упорядоченных последовательностей , , в которых почти все элементы, кроме конечного числа, равны нулю. Две последовательности будем складывать по правилу:
.
Умножение зададим формулой
, где .
Предложение 1. Построенное множество с указанными операциями сложения и умножения является ассоциативным коммутативным кольцом с единицей. Нулевым элементом является нулевая последовательность , противоположным элементом для — элемент , единичным элементом — .
Последовательности при сложении и умножении ведут себя так же, как элементы кольца , поэтому вместо будем писать .
Обозначим
.
Тогда по правилу умножения последовательностей получим
… … …
.
И в новых обозначениях последовательность запишется в виде .
Определение 1. Построенное кольцо будем обозначать через и называть кольцом многочленов от одной переменной1), а его элемент — многочленом2).
Определение 2. Элементы многочлена называются коэффициентами3) многочлена .
Определение 3. Многочлен, все коэффициенты которого равны нулю, называется нулевым4).
Замечание 1. Кольцо также называют алгеброй многочленов от одной переменной, имея ввиду, что определено умножение многочлена на скаляр по формуле
,
а значит, является алгеброй над кольцом .
Степень многочлена
Определение 4. Говорят, что степень многочлена5) от одной переменной равна , если . Коэффициент при этом называют старшим коэффициентом6).Степень многочлена обозначают через . Степень нулевого многочлена полагают равной .
Определение 5. Многочлены небольших степеней имеют специальные названия:
- многочлен степени 1 — линейный многочлен
- многочлен степени 2 — квадратичный многочлен
- многочлен степени 3 — кубичный многочлен
Предложение 2. Для любых двух многочленов справедливы неравенства:
- ;
- ;
- если целостное, то .
Кольцо многочленов от n переменных
Пусть теперь — кольцо многочленов от одной переменной. Применяя вышеизложенную конструкцию, можно получить кольцо , которое обозначается через и называется кольцом многочленов от двух переменных. Элементы этого кольца имеют вид . Аналогично получается кольцо многочленов от трех переменных и т.д.
Определение 6. Вообще полученное таким способом кольцо называется кольцом многочленов от переменных. Элементы этого кольца — многочлены от переменных — имеют вид .
Определение 7. Выражения вида называются мономами7). Степень монома . Степенью многочлена от переменных называется максимальная из степенй его мономов.
Обобщение
Определение 8. Пусть — некоторое множество и — аддитивный моноид целых чисел, не меньших нуля. Обозначим через множество функций , которые равны нулю для почти всех8) элементов из . Пусть и , тогда через будем обозначать функцию, которая принимает значение в и в . Если и — функции из , то их произведение определяется формулой: . Тогда будет мультипликативным моноидом, единичным элементом которого служит нулевая функция. Пусть — коммутативное кольцо, тогда можно образовать моноидную алгебру над , которую мы будем называть кольцом (или, более точно, алгеброй) многочленов9) от над и обозначать через . Элементы кольца многочленов называются многочленами10).
В частности, если — множество, состоящее из одного элемента , то состоит из элементов вида , а — кольцо многочленов от одной переменной. Если же , то получается конструкция кольца многочленов от переменных.
Пример к обобщению. Пусть множество состоит из одного элемента «ёжик» (). Через обозначим множество чисел, равное всевозможному количеству иголок на ёжике, а через — набор всевозможных соответствий: на ёжике иголок, которое будем обозначать как . Если есть два таких соответствия: и , то под их произведением будем понимать соответствие — на ёжике иголок. Тогда — мультипликативный моноид, единицей которого служит соответствие «ёжик голый», то есть без иголок. Для некоторого коммутативного кольца с единицей cоответствующая моноидная алгебра, то есть наборы всевозможных формальных линейных комбинаций вида — это кольцо многочленов от переменной «ёжик». Этот пример должен лишний раз демонстрировать, что производная многочлена в смысле математического анализа (предел отношения приращения функции к приращению аргумента) не может быть определена.