Содержание
Моноид
проверено
Определения
Определение 1. Пара , сосотящая из множества
и бинарной алгебраической операции
называется моноидом1), если выполнены условия:
Таким образом, моноид — это полугруппа, обладающая нейтральным элементом.
Определение 2. Моноид с операцией
называется коммутативным, если
— коммутативна, то есть
для любых
.
Пример 1. Множество целых чисел с операцией сложения
является коммутативным моноидом.
Пример 2. Множество натуральных чисел с операцией умножения
является коммутативным моноидом.
Пример 3. Пусть — некоторый алфавит. На множестве всех слов
алфавита
введем операцию «приписывания» одного слова в конец другого: если
и
, то
. Тогда пустое слово
является нейтральным элементом. Ясно, что операция «приписывания» ассоциативна, поэтому пара
— моноид.
Пример 4. Множество матриц порядка
над кольцом
с операцией умножения матриц является некоммутативным моноидом. Нейтральным элементом в этом случае является единичная матрица
.
Пример 5. Пусть — произвольное множество. Обозначим через
множество всех отображений из
в
. Так как композиция отображений ассоциативна, и в
содержится нейтральный элемент
— тождественное отображение, то
— моноид.
Определение 3. Пусть — подмножество в
,
. Будем говорить, что
является подмоноидом2) моноида
, если
содержит нейтральный элемент
и замкнуто относительно операции
, то есть
для любых
.