Моноид

проверено

Определения

Определение 1. Пара $(X,\ast)$, сосотящая из множества $X$ и бинарной алгебраической операции $\ast$ называется моноидом1), если выполнены условия:

  1. Операция $\ast$ ассоциативна, то есть $(x\ast y)\ast z=x\ast(y\ast z)$ для всех $x,y,z\in X$
  2. Существует (нейтральный) элемент $e\in X$ такой, что $e\ast x=x\ast e=x$ для всех $x\in X$.

Таким образом, моноид — это полугруппа, обладающая нейтральным элементом.

Определение 2. Моноид $X$ с операцией $\ast$ называется коммутативным, если $\ast$коммутативна, то есть $x\ast y=y\ast x$ для любых $x,y\in X$.

Пример 1. Множество целых чисел $\mathbb{Z}$ с операцией сложения $+$ является коммутативным моноидом.

Пример 2. Множество натуральных чисел $\mathbb{N}$ с операцией умножения $\cdot$ является коммутативным моноидом.

Пример 3. Пусть $X$ — некоторый алфавит. На множестве всех слов $S(X)$ алфавита $X$ введем операцию «приписывания» одного слова в конец другого: если $s_1\in S(X)$ и $s_2\in S(X)$, то $s=s_1\ast s_2\in S(X)$. Тогда пустое слово $\Lambda$ является нейтральным элементом. Ясно, что операция «приписывания» ассоциативна, поэтому пара $(S(X),\ast)$ — моноид.

Пример 4. Множество $\textrm{Mat}_n(\mathbb{Z})$ матриц порядка $n$ над кольцом $\mathbb{Z}$ с операцией умножения матриц является некоммутативным моноидом. Нейтральным элементом в этом случае является единичная матрица $E$.

Пример 5. Пусть $X$ — произвольное множество. Обозначим через $\textrm{Hom}(X,X)$ множество всех отображений из $X$ в $X$. Так как композиция отображений ассоциативна, и в $\textrm{Hom}(X,X)$ содержится нейтральный элемент $\textrm{id}_X$тождественное отображение, то $\textrm{Hom}(X,X)$ — моноид.

Определение 3. Пусть $Y$ — подмножество в $X$, $Y\subset X$. Будем говорить, что $(Y,\ast)$ является подмоноидом2) моноида $(X,\ast)$, если $Y$ содержит нейтральный элемент $e$ и замкнуто относительно операции $\ast$, то есть $x\ast y\in Y$ для любых $x,y\in Y$.

См. также

Литература

1) monoid
2) submonoid
glossary/monoid.txt · Последние изменения: 15.02.2014 15:56:40 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0