Гомоморфизм моноидов

Описание

Определение 1. Пусть даны произвольные моноиды $(A,\cdot_A)$ и $(B,\cdot_B)$. Отображение $\varphi:A\rightarrow B$ называется гомоморфизмом моноидов1), если:

  1. $\varphi(x\cdot_Ay)=\varphi(x)\cdot_B\varphi(y)$ для $\forall x,y\in A$
  2. $\varphi(1_A)=1_B$

Определение 2. Множество $\textrm{ker}\varphi=\{a\in A\vert\varphi(a)=1_B\}$ называется ядром гомоморфизма2) $\varphi$. Очевидно, что $\textrm{ker}\varphi$ содержит $1_A$ и является подмоноидом в $(A,\cdot_A)$.

Определение 3. Множество $\textrm{Im}\varphi=\{b\in B\vert(\exists a\in A)\varphi(a)=b\}$ называется образом гомоморфизма3) $\varphi$. $\textrm{Im}\varphi$ является подмоноидом моноида $ B $.

Гомоморфизм моноидов — это морфизм в категории моноидов.

Пример 1. Пусть $ G $ — мультипликативный моноид. Зафиксируем элемент $x\in G$. Если $\mathbb{Z}_+$ — аддитивный моноид целых неотрицательных чисел, то отображение $f:\mathbb{Z}_+\rightarrow G$, определяемое формулой $f(n)=x^n$, является гомоморфизмом моноидов.

Пример 2. Рассмотрим моноиды $(\mathbb{N}\cup\{0\},+)$ и $(S(X),\ast)$ — моноид из примера 3 статьи Моноид, где $ X $алфавит из одной буквы, $X=\{a\}$. Определим отображение $\varphi\colon\mathbb{N}\cup\{0\}\rightarrow S(X)$, которое элементу $ 1 $ ставит в соответствие $ a $, а элементу $ 0 $пустое слово $\Lambda$. Тогда $\varphi(n)=\underbrace{a\ldots a}_{n}$, а значит, $\varphi$ — гомоморфизм моноидов.

Литература

1) monoid homomorphism
2) kernel of homomorphism
3) homomorphism image
glossary/morphism/monoid.txt · Последние изменения: 08.01.2011 08:13:28 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0