Категория

Определение 1. Категория¹⁾ включает в себя

1. совокупность предметов , называемых объектами²⁾;
2. совокупность предметов , называемых стрелками³⁾, или морфизмами⁴⁾;
3. операции, ставящие в соответствие каждому морфизму объект — начало морфизма ; и объект — конец морфизма . Тот факт, что и избражается так: или ;
4. операцию, ставящую в соответствие каждой паре морфизмов с , морфизм , композицию⁵⁾ и . Причем выполняется
   закон ассоциативности:⁶⁾ Пусть — конфигурация объектов и морфизмов. Тогда ;
5. сопоставление каждому объекту морфизма , называемого единичным, или тождественным морфизмом⁷⁾, так что выполнен
   закон тождества:⁸⁾ Для любых морфизмов и имеем и .

Множество морфизмов из в обозначается или .

Пример 1. Категория множеств . Объектами этой категории являются множества, а морфизмами — отображения множеств. Легко проверить, что аксиомы категории выполнены.

Пример 2. Категория групп . Объектами являются группы, а морфизмами — гомоморфизмы групп.

Пример 3. Категория топологических пространств . Объектами являются топологические пространства, а морфизмами — непрерывные отображения топологических пространств.

Определение 2. Подкатегория категории — это совокупность некоторых объектов и морфизмов из такая, что

1. вместе с каждым морфизмом в содержатся и объект ;
2. вместе с каждым объектом содержится единичный морфизм ;
3. вместе с каждой парой перемножаемых морфизмов и — их композиция .

Определение 3. Подкатегория категории называется полной⁹⁾, если для произвольных выполнено: .

Определение 4. Морфизм называется мономорфизмом¹⁰⁾, или мономорфной стрелкой¹¹⁾, если для любых двух морфизмов из равенства следует .

Определение 5. Морфизм называется эпиморфизмом¹²⁾, или эпиморфной стрелкой¹³⁾, если для любых двух морфизмов из равенства следует .

Определение 6. Морфизм называется биморфизмом¹⁴⁾, если он одновременно является мономорфизмом и эпиморфизмом.

Определение 7. Морфизм называется изоморфизмом¹⁵⁾, если существует морфизм такой, что и являются тождественными морфизмами в и соответственно.

Заметим, что всякий изоморфизм является биморфизмом. Обратное, вообще говоря, не имеет места. Действительно, в категории моноидов гомоморфизм является биморфизмом, но не является изоморфизмом.

Определение 8. Морфизмы объекта в себя называются эндоморфизмами¹⁶⁾. Множество эндоморфизмов объекта обозначается символом . Из аксиом категории вытекает, что — моноид.

Определение 9. Изоморфизмы объекта в себя называются автоморфизмами¹⁷⁾. Множество автоморфизмов объекта обозначается символом . Это множество в действительности является группой.

• Функтор

• Гельфанд С.И., Манин Ю.И. «Методы гомологической алгебры», т.1, Наука, 1988.
• Голдблатт Р. «Топосы. Категорный анализ логики», Мир, 1983.
• Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.
• Маклейн С. «Категории для работающего математика», Физматлит, 2004.