Содержание
Топологическое пространство
Топология на множестве
Определение 1. Пусть — некоторое непустое множество. Семейство подмножеств называется топологией на множестве 1), а пара называется топологическим пространством2), если удовлетворяет следующим условиям:
- ;
- объединение произвольного семейства подмножеств , входящих в , снова принадлежит :
; - пересечение конечного семейства подмножеств , входящих в , снова принадлежит :
.
Когда топология фиксирована, топологическое пространство обычно обозначается одной буквой .
Определение 2. Пусть — топологическое пространство. Подмножество называется открытым3) в или -открытым, если оно принадлежит . Подмножество называется замкнутым4) в , если его дополнение — открыто в .
Важные примеры
Пример 1. Пусть — произвольное множество. Семейство подмножеств определяет топологию на , называемую тривиальной топологией5).
Пример 2. Пусть — произвольное множество. Семейство подмножеств определяет топологию на , называемую дискретной топологией6).
Пример 3. Пусть , , . Семейство подмножеств определяет топологию на , называемую обычной топологией7).
Пример 4. Пусть — произвольное множество и — биекция. Рассмотрим . Тогда — топологическое пространство.
Пример 5. Пусть , тогда семейство подмножеств — топология на , называемая топологией связного двоеточия8).
Сравнение топологий
Определение 3. Пусть и — топологические пространства. Говорят, что топология слабее9), или грубее10) топологии , если . В этом случае также говорят, что сильнее11), или тоньше12) . Если и , то говорят, что топологии и несравнимы13).
Пример 6. Тривиальная топология слабее любой другой топологии на этом же множестве.
Пример 7. Дискретная топология сильнее любой другой топологии на этом же множестве.
Свойства
Теорема 1. Пусть — топологическое пространство и . Рассмотрим совокупность всех замкнутых множеств . Тогда имеют место следующие свойства:
- ;
- пересечение произвольного семейства замкнутых множеств замкнуто:
; - объединение конечного семейства замкнутых множеств замкнуто:
.
Теорема 2. Пусть — произвольное множество, — семейство подмножеств из , удовлетворяющих условиям:
- ;
- ;
- .
Тогда существует единственная топология на множестве , такая что — семейство всех замкнутых множеств в .
См. также
Литература
- Рохлин В.А., Фукс Д.Б. «Начальный курс топологии. Геометрические главы», Наука, 1977.
- Телеман К. «Элементы топологии и дифференцируемые многообразия», Мир, 1967.