Алгебра множеств

проверено. мало собственно, про алгебру множеств. еще неплохо бы обозвать операции.

Операции над множествами

Пусть $ A $ и $ B $ — произвольные множества.

Определение 1. Под универсумом1) $ U $ понимают множество, включающее в себя все множества в данном контексте.

Определение 2. Пересечением2) множеств $ A $ и $ B $ называется множество всех таких элементов $ x $, которые лежат как в множестве $ A $, так и в множестве $ B $, то есть $A\cap B=\{x\vert x\in A\wedge x\in B\}$.

Определение 3. Объединением3) множеств $ A $ и $ B $ называется множество всех таких элементов $ x $, которые лежат в множестве $ A $ или в множестве $ B $, то есть $A\cup B=\{x\vert x\in A \vee x\in B\}$.

Определение 4. Разностью4) множеств $ A $ и $ B $ называется множество всех таких элементов $ x $, которые лежат в множестве $ A $, но не лежат в $ B $, то есть $A\setminus B=\{x\vert x\in A\wedge x\not\in B\}$.

Определение 5. Симметрической разностью5) множеств $ A $ и $ B $ называется множество всех таких элементов $ x $, которые принадлежат ровно одному из множеств $ A $ и $ B $, то есть $A\vartriangle B=\{x\vert (x\in A\wedge x\not\in B) \vee (x\in B\wedge x\not\in A) \}$.

Определение 6. Дополнением6) множества $ A $ называется множество всех таких элементов $ x $ из универсума, которые не лежат в множестве $ A $, то есть $\overline{A}=\{x\in U\vert x\not\in A\}$.

Свойства операций

Предложение 1. Справедливы следующие свойства

  1. $A\cup A=A,\ A\cap A=A$;
  2. $A\cup B=B\cup A,\ A\cap B=B\cap A$;
  3. $(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C),\ (A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)$;
  4. $(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup(B\cap C),\ (A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap(B\cup C)$;
  5. $\overline{\overline{A}}=A$;
  6. $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B},\ \overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}$;
  7. $(A\cup\overline{A})\cap B=B,\ (A\cap\overline{A})\cup B=B$.

Алгебра множеств

Определение 7. Алгеброй множеств7) называется пара $(M,\Omega)$, где $ M $ — некоторая совокупность множеств, а $\Omega$ — набор операций над множествами. Обычно полагают, что $M=\mathcal{P}(U)$ — множество всех подмножеств универсума $ U $, а в качестве $\Omega$ берут рассмотренные выше операции $\cap,\ \cup,\ \overline{\phantom{A}}$.

Литература

1) universe
2) intersection
3) union
4) difference
5) symmetric difference
6) complement
7) algebra of sets
glossary/set/algebra.txt · Последние изменения: 14.01.2011 04:39:17 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0