Алгебра множеств
проверено. мало собственно, про алгебру множеств. еще неплохо бы обозвать операции.
Операции над множествами
Пусть и
— произвольные множества.
Определение 1. Под универсумом1) понимают множество, включающее в себя все множества в данном контексте.
Определение 2. Пересечением2) множеств и
называется множество всех таких элементов
, которые лежат как в множестве
, так и в множестве
, то есть
.
Определение 3. Объединением3) множеств и
называется множество всех таких элементов
, которые лежат в множестве
или в множестве
, то есть
.
Определение 4. Разностью4) множеств и
называется множество всех таких элементов
, которые лежат в множестве
, но не лежат в
, то есть
.
Определение 5. Симметрической разностью5) множеств и
называется множество всех таких элементов
, которые принадлежат ровно одному из множеств
и
, то есть
.
Определение 6. Дополнением6) множества называется множество всех таких элементов
из универсума, которые не лежат в множестве
, то есть
.
Определение 7. Два множества и
называются непересекающимися, если их пересечение пусто, т.е.
.
Свойства операций
Предложение 1. Справедливы следующие свойства
;
;
;
;
;
;
.
Алгебра множеств
Определение 7. Алгеброй множеств7) называется пара , где
— некоторая совокупность множеств, а
— набор операций над множествами. Обычно полагают, что
— множество всех подмножеств универсума
, а в качестве
берут рассмотренные выше операции
.
Литература
- Верещагин Н.К., Шень А. «Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Начала теории множеств», МЦНМО, 2008.
- Ван дер Варден Б.Л. «Алгебра», Наука, 1976.