Содержание

Гомоморфизм групп

Гомоморфизм групп

Определение гомоморфизма

Пусть даны произвольные группы $(G,\cdot_G)$ и $(H,\cdot_H)$ с единицами $e_G$ и $e_H$ соответственно.

Определение 1. Отображение $\varphi:G\rightarrow H$ называется гомоморфизмом групп¹⁾, если:

$\varphi(x\cdot_Gy)=\varphi(x)\cdot_H\varphi(y)$ для $\forall x,y\in G$

Пример 1. Пусть $G$ — группа. Отображение $G\rightarrow G\colon x\mapsto x$ называется тождественным и обозначается символом $\textrm{id}_G$ . Очевидно, что $\textrm{id}_G$ является автоморфизмом группы $G$ .

Пример 2. Рассмотрим группу $G$ , записываемую мультипликативно, и $n\in\mathbb{N}$ . Отображение $\varphi\colon G\rightarrow G:x\mapsto \underbrace{x\cdot\ldots\cdot x}_n=x^n$ , является гомоморфизмом групп и называется возведением в $n$ -ю степень.

Определение 2. Гомоморфизм групп $\varphi:G\rightarrow H$ называется мономорфизмом групп²⁾, если отображение $\varphi$ инъективно.

Определение 3. Гомоморфизм групп $\varphi:G\rightarrow H$ называется эпиморфизмом групп³⁾, если отображение $\varphi$ сюръективно.

Пример 3. Пусть $N$ — нормальная подгруппа группы $G$ . Тогда отображение $\pi\colon G\rightarrow G/N$ группы $G$ на факторгруппу $G/N$ такое, что $\pi(x)=xN$ , является эпиморфизмом групп и называется канонической проекцией.

Определение 4. Гомоморфизм групп $\varphi:G\rightarrow H$ называется изоморфизмом групп⁴⁾, если он является мономорфизмом и эпиморфизмом одновременно.

Определение 5. Ядро гомоморфизма⁵⁾ $\varphi:G\rightarrow H$ — это множество $\textrm{ker}\varphi=\{x\in G\vert\varphi(x)=e_H\}$ .

Определение 6. Образ гомоморфизма⁶⁾ $\varphi:G\rightarrow H$ — это множество $\textrm{im}\varphi=\{y\in H\vert\exists x\in G:\varphi(x)=y\}$ .

Гомоморфизм групп является морфизмом в категории групп. В частности, понятия мономорфизма, эпиморфизма и изоморфизма можно переформулировать:

Предложение 1. Гомоморфизм $\varphi:G\rightarrow H$ является мономорфизмом тогда и только тогда, когда $\textrm{ker}\varphi=\{0\}$ .

Предложение 2. Гомоморфизм $\varphi:G\rightarrow H$ является эпиморфизмом тогда и только тогда, когда $\textrm{im}\varphi=H$ .

Предложение 3. Гомоморфизм $\varphi:G\rightarrow H$ является изоморфизмом тогда и только тогда, когда существует гомоморфизм $\varphi^{-1}:H\rightarrow G$ такой, что $\varphi^{-1}\circ\varphi=\textrm{id}_G$ и $\varphi\circ\varphi^{-1}=\textrm{id}_H$ .

Определение 7. Автоморфизмом группы⁷⁾ $G$ называется изоморфизм $\varphi:G\rightarrow G$ .

Свойства гомоморфизма групп

Предложение 4. Пусть $\varphi:G\rightarrow H$ — гомоморфизм групп. Тогда

$\varphi(e_G)=e_H$
$\varphi(x^{-1})=\varphi(x)^{-1}$ для всех $x\in G$

Предложение 5. Ядро $\textrm{ker}\varphi$ гомоморфизма групп $\varphi:G\rightarrow H$ является нормальной подгруппой группы $G$ .

Предложение 6. Образ $\textrm{im}\varphi$ гомоморфизма групп $\varphi:G\rightarrow H$ является подгруппой группы $H$ .

Теоремы о гомоморфизмах

Основная теорема о гомоморфизме. Пусть $\varphi\colon G\rightarrow H$ — гомоморфизм групп с ядром $\textrm{ker}~\varphi=N$ . Через $\pi\colon G\rightarrow G/N$ обозначим каноническую проекцию⁸⁾. Тогда существует единственный гомоморфизм групп $\varphi_*\colon G/N\rightarrow H$ , инъективный и такой, что $\varphi=\varphi_*\circ\pi$ , то есть делающий коммутативной диаграмму

$\begin{diagram}\node{G}\arrow{se,b}{\pi}\arrow[2]{e,t}{\varphi}\node[2]{H}\\\node[2]{G/N}\arrow{ne,b}{\varphi_*}\end{diagram}$ .

Если $\varphi$ сюръективно, то $\varphi_*$ — изоморфизм. Гомоморфизм $\varphi_*$ левому смежному классу $gN$ ставит в соответствие $\varphi(g)$ .

Первая теорема об изоморфизме. Пусть $H$ и $K$ — подгруппы в $G$ , и $H$ нормальна в $G$ . Тогда

$KH=KH$ — подгруппа в $G$ , содержащая $H$ , причем $H$ нормальна в $KH$ ;
подгруппа $K\cap H$ нормальна в $K$ ;
отображение $\varphi\colon kH\mapsto k(K\cap H)$ является изоморфизмом групп $(KH)/H\cong K/(K\cap H)$ .

Теорема о соответствии. Пусть $\varphi\colon G\rightarrow H$ — эпиморфизм групп с ядром $\textrm{ker}~\varphi=N$ . Тогда существует биекция между множеством подгрупп в $G$ , содержащих $N$ , и множеством всех подгрупп в $H$ . При этом нормальным делителям группы $G$ соответствуют нормальные делители группы $H$ .

Теорема о сокращении. Пусть $H$ и $K$ — нормальные подгруппы в группе $G$ , причем $K\subset H$ . Тогда факторгруппа $H/K$ является нормальной подгруппой в $G/K$ и имеет место изоморфизм: $(G/K)/(H/K)\cong G/H$ .

Пример 4. Идеалы $2\mathbb{Z}$ и $4\mathbb{Z}$ нормальны в $\mathbb{Z}$ , откуда получаем: $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})/(2\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ , или, что то же самое, $\mathbb{Z}_4/\mathbb{Z}_2\cong\mathbb{Z}_2$ .

Литература

абстрактная алгебра, гомоморфизм групп, группа, изоморфизм групп, мономорфизм групп, эпиморфизм групп

¹⁾

group homomorphism

²⁾

monomorphism

³⁾

epimorphism

⁴⁾

isomorphism

⁵⁾

kernel of homomorphism

⁶⁾

image of homomorphism

⁷⁾

automorphism

⁸⁾

см. пример 3

glossary/morphism/group.txt · Последние изменения: 15.02.2014 12:07:10 — Ладилова Анна

Наверх