Корни многочлена

Значение многочлена

Пусть $A$коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, содержащееся в коммутативном целостном кольце $K$, и $A[T]$кольцо многочленов от одной переменной.

Предложение 1. Для каждого элемента $t\in K$ существует единственный гомоморфизм колец $\Pi_t\colon A[T]\rightarrow K$ такой, что

  1. $\Pi_t(a)=a$ для всех $a\in A$;
  2. $\Pi_t(T)=t$.

Определение 1. Результат применения отображения $\Pi_t$ к многочлену $f=a_0+a_1T+\ldots+a_nT^n$, то есть выражение $\Pi_t(f)=a_0+a_1\cdot t+\ldots+a_n\cdot t^n$, называется значением многочлена1) $f$ при $T=t$.

Пример 1. Пусть $f=2T^2+1$ — многочлен над полем действительных чисел. Тогда его значение при $T=5$ — это $f(5)=2\cdot5^2+1=51$.

Корень многочлена

Определение 2. Элемент $c\in K$ называется корнем многочлена2) $f(T)=a_0+a_1T+\ldots+a_nT^n$ из кольца многочленов $A[T]$, если

$f(c)=a_0+a_1c+\ldots+a_nc^n=0$.

Замечание 1. Операции сложения и умножения при вычислении выражения $a_0+a_1c+\ldots+a_nc^n$ производятся в кольце $K$.

Пример 2. Рациональное число $1/2$ является корнем многочлена с целыми коэффициентами $2T-1$.

Пример 3. Мнимая единица $i\in\mathbb{C}$ является корнем многочлена $1+T^2\in\mathbb{R}[T]$.

Теорема Безу

Теорема 1.(Теорема Безу) Элемент $c\in A$ является корнем многочлена $f\in A[T]$ тогда и только тогда, когда $T-c$ делит $f$ в кольце $A[T]$.

См. также

Литература

1) value of polynomial
2) polynomial root
glossary/polynomial/root.txt · Последние изменения: 15.02.2014 16:08:16 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0