Содержание

Гомоморфизм колец

Гомоморфизм колец

Определение

Определение 1. Пусть даны произвольные кольца $(A,+_A,\cdot_A)$ и $(B,+_B,\cdot_B)$ . Отображение $\varphi:A\rightarrow B$ называется гомоморфизмом колец¹⁾, если:

$\varphi(x+_Ay)=\varphi(x)+_B\varphi(y)$ для $\forall x,y\in A$ , то есть $\varphi$ — гомоморфизм абелевых групп $(A,+_A)$ и $(B,+_B)$ ;
$\varphi(x\cdot_Ay)=\varphi(x)\cdot_B\varphi(y)$ для $\forall x,y\in A$ ;
если кольца $A$ и $B$ обладают единицей, то $\varphi(1_A)=1_B$ .

Определение 2. Гомоморфизм колец $\varphi:G\rightarrow H$ называется мономорфизмом колец²⁾, если отображение $\varphi$ инъективно.

Определение 3. Гомоморфизм колец $\varphi:G\rightarrow H$ называется эпиморфизмом колец³⁾, если отображение $\varphi$ сюръективно.

Определение 4. Гомоморфизм колец $\varphi:G\rightarrow H$ называется изоморфизмом колец⁴⁾, если он является мономорфизмом и эпиморфизмом одновременно.

Определение 5. Ядром гомоморфизма колец $\varphi$ называется множество $\textrm{Ker}~\varphi=\{x\in A|\varphi(x)=0\}$ .

Предложение 1. Ядро гомоморфизма колец $\varphi:A\rightarrow B$ является двусторонним идеалом кольца $A$ .

Предложение 2. Гомоморфизм $\varphi:A\rightarrow B$ является мономорфизмом тогда и только тогда, когда $\textrm{ker}\varphi=\{0\}$ .

Предложение 3. Гомоморфизм $\varphi:A\rightarrow B$ является эпиморфизмом тогда и только тогда, когда $\textrm{im}\varphi=B$ .

Предложение 4. Гомоморфизм $\varphi:A\rightarrow B$ является изоморфизмом тогда и только тогда, когда существует гомоморфизм $\varphi^{-1}:B\rightarrow A$ такой, что $\varphi^{-1}\circ\varphi=\textrm{id}_A$ и $\varphi\circ\varphi^{-1}=\textrm{id}_B$ .

Пример 1. Пусть $I$ — двусторонний идеал кольца $R$ . Тогда каноническая проекция $\pi:R\rightarrow R/I$ является гомоморфизмом колец. Действительно,

$\pi(x+y)=(x+y)+I=(x+I)+(y+I)=\pi(x)+\pi(y)$ ,
$\pi(x\cdot y)=(x\cdot y)+I=(x+I)\cdot(y+I)=\pi(x)\cdot\pi(y)$ ,
если $R$ содержит единицу $1_R$ , то $\varphi(1)=1+I=1_{R/I}$ .

Теоремы о гомоморфизмах

Основная теорема о гомоморфизме. Пусть $\varphi\colon A\rightarrow B$ — гомоморфизм колец с ядром $\textrm{ker}~\varphi=J$ . Через $\pi\colon A\rightarrow A/J$ обозначим каноническую проекцию⁵⁾. Тогда существует единственный гомоморфизм колец $\varphi_*\colon A/J\rightarrow B$ , инъективный и такой, что $\varphi=\varphi_*\circ\pi$ , то есть делающий коммутативной диаграмму

$\begin{diagram}\node{A}\arrow{se,b}{\pi}\arrow[2]{e,t}{\varphi}\node[2]{B}\\\node[2]{A/B}\arrow{ne,b}{\varphi_*}\end{diagram}$ .

Если $\varphi$ сюръективно, то $\varphi_*$ — изоморфизм.

Первая теорема об изоморфизме. Пусть $B$ — подкольцо в $A$ , и $I$ — идеал в $A$ . Тогда

$B+I$ — подкольцо в $A$ , содержащее $I$ , причем $I$ — идеал в $B+I$ ;
пересечение $B\cap I$ — идеал в $B$ ;
отображение $\varphi\colon b+I\mapsto b+B\cap I$ является изоморфизмом факторколец $(B+I)/I\cong B/(B\cap I)$ .

Теорема о соответствии. Пусть $\varphi\colon A\rightarrow B$ — эпиморфизм колец с ядром $\textrm{ker}~\varphi=J$ . Тогда существует биекция между множеством подколец (левых, правых, двусторонних идеалов) в $A$ , содержащих $J$ , и множеством всех подколец (левых, правых, двусторонних идеалов) в $B$ .

Теорема о сокращении. Пусть $I$ и $J$ — двусторонние идеалы в $A$ , причем $I\subset J$ . Тогда фактормножество $J/I$ является идеалом в $A/I$ и имеет место изоморфизм: $(A/I)/(J/I)\cong A/J$ .