Алгебра

Определение

Определение 1. Пусть $R$коммутативное ассоциативное кольцо с единицей. Назовем кольцо $A$ алгеброй над $R$, или $R$-алгеброй1), если на $A$ определена структура (левого) $R$-модуля, причем структуры кольца и модуля согласованы, то есть

$(r\cdot a_1)a_2=a_1(r\cdot a_2)=r\cdot(a_1 a_2)$ для $\forall r\in R$ и $\forall a_1,a_2\in A$.

Если кольцо $A$ ассоциативно, то $A$ называется ассоциативной алгеброй2), если $A$коммутативное кольцо, то говорят о коммутативной алгебре3) и т.д.

Определение 2. Множество $B\subset A$ называется подалгеброй4) в $R$-алгебре $A$, если

  1. $B$$R$-подмодуль;
  2. $B$ — подкольцо в $A$.

Пример 1. Пусть $A$ — произвольное кольцо, тогда $A$ можно рассматривать как модуль над кольцом $\mathbb{Z}$, полагая $r\cdot a=\underbrace{a+a+\ldots+a}_r$. Очевидно, что $A$ является алгеброй над кольцом $\mathbb{Z}$.

Пример 2. Множество всех многочленов от одной переменной с рациональными коэффициентами $\mathbb{Q}[X]$ естественным образом5) наделяется структурой коммутативной алгебры над полем рациональных чисел $\mathbb{Q}$.

Определение 3. Если алгебра $A$ является свободным модулем над кольцом $R$, то размерностью алгебры6) $A$ над называется размерность $A$ как свободного $R$-модуля.

Часто рассматривают алгебры не над произвольным кольцом $R$, а над полем $F$. В этом случае размерность алгебры — это размерность векторного пространства $A$ над полем $F$

Пример 3. Рассмотрим поле комплексных чисел $\mathbb{C}$. Каждый элемент из $\mathbb{C}$ можно единственным образом представить в виде $a+bi$, где $a,b\in\mathbb{R}$. Таким образом, $\mathbb{C}$ — это векторное пространство над полем действительных чисел $\mathbb{R}$ с базисом $\{1,i\}$, наделенное операцией умножения. То есть $\mathbb{C}$ — двумерная алгебра над полем $\mathbb{R}$.

Последний пример является частным случаем более общего факта.

Пример 4. Всякое поле $L$, содержащее $K$ в качестве подполя, можно рассматривать как алгебру над $K$.

Определение 4. Ассоциативная алгебра называется полупростой7), если она полупроста как кольцо.

Литература

1) $R$-algebra
2) assosiative algebra
3) commutative algebra
4) subalgebra
5) умножение на скаляры
6) dimension of algebra
7) semiprimitive algebra
glossary/algebra.txt · Последние изменения: 07.03.2013 01:30:27 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0