Алгебра

Определение 1. Пусть — коммутативное ассоциативное кольцо с единицей. Назовем кольцо алгеброй над , или -алгеброй¹⁾, если на определена структура (левого) -модуля, причем структуры кольца и модуля согласованы, то есть

Если кольцо ассоциативно, то называется ассоциативной алгеброй²⁾, если — коммутативное кольцо, то говорят о коммутативной алгебре³⁾ и т.д.

Определение 2. Множество называется подалгеброй⁴⁾ в -алгебре , если

1. — -подмодуль;
2. — подкольцо в .

Пример 1. Пусть — произвольное кольцо, тогда можно рассматривать как модуль над кольцом , полагая . Очевидно, что является алгеброй над кольцом .

Пример 2. Множество всех многочленов от одной переменной с рациональными коэффициентами естественным образом⁵⁾ наделяется структурой коммутативной алгебры над полем рациональных чисел .

Определение 3. Если алгебра является свободным модулем над кольцом , то размерностью алгебры⁶⁾ над называется размерность как свободного -модуля.

Часто рассматривают алгебры не над произвольным кольцом , а над полем . В этом случае размерность алгебры — это размерность векторного пространства над полем

Пример 3. Рассмотрим поле комплексных чисел . Каждый элемент из можно единственным образом представить в виде , где . Таким образом, — это векторное пространство над полем действительных чисел с базисом , наделенное операцией умножения. То есть — двумерная алгебра над полем .

Последний пример является частным случаем более общего факта.

Пример 4. Всякое поле , содержащее в качестве подполя, можно рассматривать как алгебру над .

Определение 4. Ассоциативная алгебра называется полупростой⁷⁾, если она полупроста как кольцо.

• Винберг Э.Б. «Курс алгебры», Факториал, 2002.
• Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Основные структуры алгебры», МЦНМО, 2009.
• Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.
• Серр Ж.-П. «Алгебры Ли и группы Ли», Мир, 1969.