Свободный модуль

проверено. вообще букву K я здесь вижу впервые. в примере 3 обозначение суммы непривычное

Определение

Пусть $M$ — (левый) модуль над ассоциативным кольцом $R$ и $S$ — подмножество в $M$ .

Определение 1. Модуль $M$ называется конечно порожденным¹⁾, или модулем конечного типа, если он имеет конечное число образующих.

Определение 2. Модуль, порожденный единственным элементом $x$ , записывается в виде $Rx$ ²⁾ и называется главным модулем³⁾.

Определение 3. Множество $S$ называется базисом⁴⁾ модуля $M$ , если $S$ не пусто, порождает $M$ и линейно независимо.

Предложение 1. Если $S$ — базис модуля $M$ , то каждый элемент $x$ из $M$ единственным образом образом представляется в виде линейной комбинации элементов из $S$ .

Определение 4. Под свободным модулем⁵⁾ понимается модуль, обладающий базисом, или же нулевой модуль.

Определение 5. Размерностью⁶⁾ $\textrm{dim}_R(M)$ свободного модуля $M$ над кольцом $R$ называется мощность его базиса.

Пример 1. Пусть $R$ — ассоциативное кольцо с единицей, тогда $R$ является конечно порожденным модулем над собой, а его базис состоит из одного элемента $S=\{1\}$ . Таким образом, $R$ — главный модуль над собой.

Пример 2. Кольцо многочленов $K[T]$ от одной переменной над коммутативным ассоциативным кольцом с единицей $K$ порождено (как модуль над $K$ ) бесконечным множеством $S=\{T^n\vert n\in\mathbb{Z}_+\}$ линейно независимым над $K$ .

Пример3. Пусть $I$ — непустое множество, и для каждого $i\in I$ пусть $R_i=R$ , где $R$ — ассоциативное кольцо с единицей, и все $R_i$ рассматриваются как $R$ -модули. Положим $P=\underset{i\in I}{\coprod}R_i$ . Модуль $P$ обладает базисом, состоящим из элементов $e_i$ в $P$ , $i$ -й компонентой которых является единичный элемент из $R_i$ , а все другие компоненты равны нулю.