Содержание
Моноидная алгебра
Описание
Определение 1. Моноидной алгеброй1) моноида над коммутативным кольцом с единицей
называется алгебра
, базисные элементы которой занумерованы элементами моноида
, причем произведение базисных элементов с номерами
есть базисный элемент с номером
.
Обычно базисные элементы алгебры
отождествляются с элементами моноида
. Тогда всякий элемент алгебры
записывается в виде
.
Пример 1. Кольцо многочленов над полем
является моноидной алгеброй.
Определение 2. В случае, когда моноид является группой, соответствующую алгебру
называют групповой алгеброй2).
Пример 2. Пусть — мультипликативная группа, порожденная элементом
бесконечного порядка,
— коммутативное кольцо с единицей, тогда
3), где
— кольцо многочленов, порожденное множеством
, является групповой алгеброй
Теорема Машке
Теорема 1. Пусть — конечная группа порядка
,
— поле характеристики 0 или конечной характеристики
. Тогда групповая алгебра
полупроста.
Пример 3. Пусть — конечная группа порядка
и поле
имеет характеристику
, делящую
. Рассмотрим элемент
. Тогда
и лежит в центре алгебры
. Из кратности порядка группы характеристике поля следует, что
и идеал
нильпотентный. Таким образом
не может быть полупростой.
Литература

