Моноидная алгебра

Описание

Определение 1. Моноидной алгеброй1) моноида $ M $ над коммутативным кольцом с единицей $ R $ называется алгебра $R[M]$, базисные элементы которой занумерованы элементами моноида $ M $, причем произведение базисных элементов с номерами $g,h\in M$ есть базисный элемент с номером $gh$. Обычно базисные элементы алгебры $R[M]$ отождествляются с элементами моноида $ M $. Тогда всякий элемент алгебры $R[M]$ записывается в виде $r=\underset{m\in M}{\sum}r_mm~(r_m\in R)$.

Пример 1. Кольцо многочленов $F[X]$ над полем $ F $ является моноидной алгеброй.

Определение 2. В случае, когда моноид $ M $ является группой, соответствующую алгебру $R[M]$ называют групповой алгеброй2).

Пример 2. Пусть $ G $ — мультипликативная группа, порожденная элементом $ x $ бесконечного порядка, $ R $ — коммутативное кольцо с единицей, тогда $R[G]=R[x,x^{-1}]$3), где $R[x,x^{-1}]$ — кольцо многочленов, порожденное множеством $S=\{x,x^{-1}\}$, является групповой алгеброй

Теорема Машке

Теорема 1. Пусть $ G $ — конечная группа порядка $\textrm{ord}\thickspace G$, $ F $ — поле характеристики 0 или конечной характеристики $p\nmid\textrm{ord}\thickspace G$. Тогда групповая алгебра $F[G]$ полупроста.

Пример 3. Пусть $ G $ — конечная группа порядка $\textrm{ord}\thickspace G$ и поле $ F $ имеет характеристику $ p $, делящую $\textrm{ord}\thickspace G$. Рассмотрим элемент $a=\underset{g\in G}{\sum}g\in F[G]$. Тогда $a\neq 0$ и лежит в центре алгебры $F[G]$. Из кратности порядка группы характеристике поля следует, что $a^2=(\textrm{ord}\thickspace G)a=0$ и идеал $F[G]a$ нильпотентный. Таким образом $F[G]$ не может быть полупростой.

Литература

1) monoid algebra
2) group algebra
3) Стоит обратить внимание, что элементам $x^i\in G$ взаимно однозначно соответствуют функции $x^i\in N\langle S\rangle$.
glossary/algebra/monoid.txt · Последние изменения: 08.01.2011 07:28:05 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0